2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及解析

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0x时，与x等价的无穷小量是（A）1ex（B）1ln1xx（C）11x（D）1cosx[]（2）函数1(ee)tan()eexxxfxx在,上的第一类间断点是x[]（A）0（B）1（C）2（D）2（3）如图，连续函数()yfx在区间3,2,2,3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间2,0,0,2的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()dxFxftt，则下列结论正确的是：（A）3(3)(2)4FF(B)5(3)(2)4FF（C）3(3)(2)4FF（D）5(3)(2)4FF[]（4）设函数()fx在0x处连续，下列命题错误的是：（A）若0()limxfxx存在，则(0)0f（B）若0()()limxfxfxx存在，则(0)0f.（C）若0()limxfxx存在，则(0)0f（D）若0()()limxfxfxx存在，则(0)0f.[]（5）曲线1ln1exyx的渐近线的条数为（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.[]（6）设函数()fx在(0,)上具有二阶导数，且()0fx，令()nufn，则下列结论正确的是：(A)若12uu，则nu必收敛.(B)若12uu，则nu必发散(C)若12uu，则nu必收敛.(D)若12uu，则nu必发散.[]（7）二元函数(,)fxy在点0,0处可微的一个充要条件是[]（A）(,)0,0lim(,)(0,0)0xyfxyf.（B）00(,0)(0,0)(0,)(0,0)lim0,lim0xyfxffyfxy且.（C）22(,)0,0(,)(0,0)lim0xyfxyfxy.（D）00lim(,0)(0,0)0,lim(0,)(0,0)0xxyyxyfxffyf且.（8）设函数(,)fxy连续，则二次积分1sin2d(,)dxxfxyy等于（A）10arcsind(,)dyyfxyx（B）10arcsind(,)dyyfxyx（C）1arcsin02d(,)dyyfxyx（D）1arcsin02d(,)dyyfxyx（9）设向量组123,,线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则(A)122331,,(B)122331,,(C)1223312,2,2.(D)1223312,2,2.[]（10）设矩阵211100121,010112000AB，则A与B(A)合同且相似（B）合同，但不相似.(C)不合同，但相似.(D)既不合同也不相似[]二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（11）30arctansinlimxxxx__________.（12）曲线2coscos1sinxttyt上对应于4t的点处的法线斜率为_________.（13）设函数123yx，则()(0)ny________.（14）二阶常系数非齐次微分方程2432exyyy的通解为y________.（15）设(,)fuv是二元可微函数，,yxzfxy，则zzxyxy__________.（16）设矩阵0100001000010000A，则3A的秩为.三、解答题：17～24小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）(本题满分10分)设()fx是区间0,4上单调、可导的函数，且满足()100cossin()ddsincosfxxttftttttt，其中1f是f的反函数，求()fx.（18）（本题满分11分）设D是位于曲线2(1,0)xayxaax下方、x轴上方的无界区域.（Ⅰ）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积()Va；（Ⅱ）当a为何值时，()Va最小？并求此最小值.（19）（本题满分10分）求微分方程2()yxyy满足初始条件(1)(1)1yy的特解.（20）（本题满分11分）已知函数()fu具有二阶导数，且(0)1f，函数()yyx由方程1e1yyx所确定，设lnsinzfyx，求2002dd,ddxxzzxx.（21）(本题满分11分)设函数(),()fxgx在,ab上连续，在(,)ab内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()fagafbgb，证明：存在(,)ab，使得()()fg.（22）(本题满分11分)设二元函数222,||||11(,),1||||2xxyfxyxyxy，计算二重积分D(,)dfxy，其中,||||2Dxyxy.（23）(本题满分11分)设线性方程组123123212302040xxxxxaxxxax与方程12321xxxa有公共解，求a的值及所有公共解.（24）(本题满分11分)设三阶对称矩阵A的特征向量值1231,2,2，T1(1,1,1)是A的属于1的一个特征向量，记534BAAE，其中E为3阶单位矩阵.（I）验证1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；（II）求矩阵B.