2007年北师大版数学中考专题复习------动态几何图形的运动变化问题。【典型例题】例1.已知;⊙O的半径为2,∠AOB=60°,M为AB的中点,MC⊥AO于C,MD⊥OB于D,求CD的长。分析:连接OM交CD于E,∵∠AOB=60°,且M为AB中点∴∠AOM=30°,又∵OM=OA=2∴OC3∴CECD323,例2.如图,AB是⊙O的直径,⊙O过AE的中点D,DC⊥BC,垂足为C。(1)由这些条件,你能推出哪些正确结论?(要求:不再标注其他字母,找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中,不写推理过程,写出4个结论即可)(2)若∠ABC为直角,其它条件不变,除上述结论外,你还能推出哪些新的正确结论?并画出图形。(要求:写出6个结论即可,其它要求同(1))分析:(1)AB=BEDC=CE∠A=∠EDC为⊙O切线(2)若∠ABC为直角则∠A=∠E=45°,DC=BCDC∥AB,DC=CE,BE为⊙O的切线DCABBE1212例3.在直径为AB的半圆内划出一块三角形区域,使三角形的一边为AB,顶点C在半圆上,现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN,其中DE在AB上,如图的设计方案是AC=8,BC=6。(1)求△ABC中AB边上的高h;(2)设DN=x,当x取何值时,水池DEFN的面积最大?分析:(1)∵AB为半圆直径∴∠ACB=90°∵AC=8,BC=6∴AB=10∴△ABC中AB边上高h=4.8m(2)设DN=x,CM=h=4.8则MP=xNFABCPCMNFx104848..NFx102512SNDNF·xxxxxx()()102512251210251224522当x125时,水池面积最大。例4.正方形ABCD的边长为6cm,M、N分别为AD、BC中点,将C折至MN上,落在P处,折痕BQ交MN于E,则BE=______cm。分析:△BPQ≌△BCQBP=BC=6连接PC,∵BP=PC(M、N为中点)∴△BPC为等边三角形∴∠PBC=60°,又∵∠∠=°QBCPBC1230∴在Rt△BEN中,BN=3∴BE23例5.一束光线从y轴上点A(0,1)出发,经过x轴上点C反射后经过点B(3,3),则光线从A点到B点经过的路线长是。分析:A(0,1),B(3,3),则OA=1过B作BM⊥x轴于M则BM=3,OM=3又∵AC与CB为入射光线与反射光线∴∠AOC=∠BCM∴△AOC∽△BMC∴AOBMOCCM∴133OCOC∴OC34∴AC54同理:BC154∴ACBC2045例6.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:DE=AD-BE;(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明。分析:(1)AD⊥MNBE⊥MN∴∠ADC=∠CEB=90°∴∠DAC+∠DCA=90°又∵∠ACB=90°∴∠DCA+∠ECB=90°∴∠DAC=∠ECB∵AC=BC∴△ADC≌△CEB∴DC=BEAD=CE∴DE=DC+CE=BE+AD(2)与(1)同理△ADC≌△CEB∴CD=BEAD=CE∵DE=CE-CD=AD-BE(3)当直线MN绕点C旋转到图3位置时与(1)(2)同理可知CE=AD,BE=CD∵DE=CD-CE=BE-AD例7.把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG(其直角边长均为4)叠放在一起(如图①),且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋转(旋转角α满足条件:0°<α<90°),四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分(如图②)。(1)在上述旋转过程中,BH与CK有怎样的数量关系?四边形CHGK的面积有何变化?证明你发现的结论;(2)连接HK,在上述旋转过程中,设BH=x,△GKH的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)在(2)的前提下,是否存在某一位置,使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的516?若存在,求出此时x的值;若不存在,说明理由。分析:(1)在上述旋转过程中,BH=CK,四边形CHGK的面积不变.证明:连结CG∵△ABC为等腰直角三角形,O(G)为其斜边中点∴CG=BG,CG⊥AB∴∠ACG=∠B=45°∵∠BGH与∠CGK均为旋转角,∴∠BGH=∠CGK∴△BGH≌△CGK∴BH=CK,S△BGH=S△CGK∴S四边形CHGK=S△CHG+S△CGK=S△CHG+S△BGH=S△ABC=××4×4=4即:S四边形CHGK的面积为4,是一个定值,在旋转过程中没有变化(2)∵AC=BC=4,BH=x,∴CH=4-x,CK=x由S△GHK=S四边形CHGK-S△CHK,得y=14(4)2xx∴yxx12242∵0°<α<90°,∴0<x<4(3)存在。根据题意,得122451682xx×解这个方程,得xx1213,即:当x1或x3时,△GHK的面积均等于△ABC的面积的516。例8.经过⊙O内或⊙O外一点P作两条直线交⊙O于A上和C、D四点(在图⑤、⑥中,有重合的点),得到了如图①~⑥所表示的六种不同情况。(1)在六种不同情况下,PA、PB、PC、PD四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来,首先写出这个式子,然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况,给出它的证明;(2)已知⊙O的半径为一定值,若点P是不在⊙O上的一个定点,请你过点P任作一直线交⊙O于不重合的两点C、D,PC·PD的值是否为定值?为什么?由此你发现了什么结论?请你把这一结论用文字叙述出来。分析:(1)PA·PB=PC·PD证明:连接AC、BD则△ACP∽△DBP∴APDPCPBP∴AP·BP=CP·DP(2)PC·PD的值为定值(当P在圆外时)借助图⑤,过P作⊙O切线PA则PAPCPD2·(连接PO交⊙O于E,并延长交⊙O于F时)又有222()()PAPEPFOPrOPrOPr·∴PCPDPEPFOPr··22(当P在圆内时)借助图②,连接OP并延长分别交⊙O于E,F时22PCPDPEPFrOP·例9.如图所示,AB是半圆O的直径,点M是半径OA的中点,点P在线段AM上运动(不与点M重合),点Q在半圆O上运动,且总保持PQ=PO,过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C。(1)当∠QPA=60°时,请你对ΔQCP的形状做出猜想,并给予证明。(2)当QP⊥AB时,那么ΔQCP的形状是________三角形。(3)由(1)、(2)得出的结论,请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时,ΔQCP一定是____三角形。分析:(1)△QCP是等边三角形证明:连接OQ,则∵CQ为⊙O切线∴CQ⊥OQ,∴∠CQO=90°∵PQ=PO,∠QPC=60°∴∠POQ=∠PQO=30°∴∠C=90°-30°=60°∴∠CQP=∠C=∠QPC=60°∴△QPC是等边三角形(2)等腰直角三角形(3)等腰三角形例10.如图甲、乙、丙,在图甲中,以O为圆心,半径分别为R,r(R>r)的两个同心圆中,A、D为大⊙O上的任意两点,小圆O的割线ABC与DEF都经过圆心O现在我们证明:AB·AC=DE·DF证明:因为小⊙O的割线ABC与DEF都经过圆心O,所以AB=R-r,AC=R+r,DF=R-r,DE=R+r,所以AB=DE,AC=DF,故AB·AC=DE·DF。阅读上述证明后,完成下列两题:(1)将图甲变换成图乙(ABC不经过圆心O,DEF经过圆心O).求证:AB·AC=DE·DF(2)将图乙变换成图丙(ABC与DEF都不经过圆心O),请对图丙中有关线段之间存在的关系,做出合理猜想,并给予证明。分析:(1)连接AO并延长与小⊙O交于B'、C'两点可证得:ABACDEDF''··,而ABACABAC··''∴ABACDEDF··(2)猜想AB·AC=DE·DF,连接DO交小⊙O于E'、F'由(1)得AB·AC=DE'·DF',而DE'·DF'=DE·DF故猜想成立。【模拟试题】一、填空题:1.方程()x212的根是。2.已知a,b是方程22610xx的两根,则代数式()abab的值是________。3.已知二次函数的图象开口向上,且与y轴的负半轴相交。请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:。4.抛物线yxx221与x轴分别交于A、B两点,则AB的长为________。5.已知,AB是⊙O的弦,P是AB上的一点,AB=10cm,PA=4cm,OP=5cm,则⊙O的半径=。6.如图,直线TB与△ABC的外接圆相切于点B,AD∥BC,∠BAD=70°,∠ACB=40°,则∠TBC=。7.如图,AB为半圆O的直径,C、D是AB上的三等分点,若⊙O的半径为1,E为线段AB上任意一点,则图中阴影部分的面积为。8.已知r1、r2分别是⊙O1、⊙O2的半径,两圆有且只有一条公切线,O1O2=3,r1=5,则r2=。9.一圆锥的母线长为6cm,它的侧面展开图的圆心角为120°,则这个圆锥的底面半径r为cm。10.某校九年级三班在体育毕业考试中,全班所有学生得分的情况如下表所示:分数段18分以下18—20分21—23分24—26分27—29分30分人数2312201810那么该班共有人,随机地抽取1人,恰好是获得30分的学生的概率是.二、选择题:11.已知关于x的一元二次方程220xxk有实数根,则k的取值范围是()A.k≤1B.k≥1C.k<1D.k>112.使关于x的分式方程axxax2224222产生增根的a的值是()A.2B.-2C.±2D.与a无关13.为适应国民经济持续协调的发展,自2004年4月18日起,全国铁路第五次提速,提速后火车由天津到上海的时间缩短了7.42小时,若天津到上海的路程为1326千米,提速前火车的平均速度为x千米/时,提速后火车的平均速度为y千米/时,则x、y应满足的关系式是()A.x-y=1326742.B.y-x=1326742.C.13261326742xy=.D.13261326742yx.14.把抛物线yxbxc2的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是yxx235,则有()A.b=3,c=7B.b=-9,c=-15C.b=3,c=3D.b=-9,c=2115.二次函数yaxbxc2的图象如图所示,则下列关于a、b、c间的关系判断正确的为()A.ab<0B.bc<0C.a+b+c>0D.a-b+c<016.已知点(-1,y1),(-3,y2),(-0.5,y3)在函数yxx36122的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.yyy123B.yyy213C.yyy231D.yyy31217.下列语句中正确的有()A.相等的圆心角所对的弧相等;B.平分弦的直径垂直于弦;C.长度相等的两条弧是等弧;D.经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。18.已知⊙O的半径为2cm,弦AB长为23cm,则这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为()A.1cmB.2cmC.2cmD.3cm19.如图,⊙O中,弦AD∥BC,DA=DC,∠AOC=160°,则∠BCO等于()A.20°B.30°C.40°D.50°20.如图,PT是⊙O的切线,T为切点,PBA是割线,交⊙O于A、B两点,与直径CT交于点D,已知CD=2,AD=3,BD=4,那么PB等于()A.6B.615C.20D.7三、解答题:21.解方程(1)08032..xx(2)xx131222.如图,AB是⊙O的直径,CD切⊙O于E,AC⊥CD于C,BD⊥CD于D,交⊙O于F,连结AE,EF。(1