2007年广东高考文科数学试题及答案

2007年广东省高考数学(文科)试题及详细解答一、选择题:本大题共l0小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|10}Mxx,1{|0}1Nxx,则MN=A．{x|-1≤x＜1}B．{x|x1}C．{x|-1＜x＜1}D．{x|x≥-1}【解析】(1,),(,1)MN,故MN(1,1),选(C).2.若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b=A．-2B．12C.12D．2【解析】(1)(2)(2)(21)biibbi,依题意202bb,选(D).3.若函数f(x)=x3(x∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是A．单调递减的偶函数B.单调递减的奇函数C．单凋递增的偶函数D．单涮递增的奇函数【解析】函数3()yfxx单调递减且为奇函数,选(B).4．若向量,ab满足||||1ab,a与b的夹角为60,则aaabA．12B．32C.312D．2【解析】23||||||cos602aaabaab,选(B).5．客车从甲地以60km／h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km／h的速度匀速行驶l小时到达丙地。下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是【解析】依题意的关键字眼“以80km／h的速度匀速行驶l小时到达丙地”选得答案(C).6.若,,lmn是互不相同的空间直线，,是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是【解析】逐一判除,易得答案(D).7.图l是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为4，、A：、…、A，。(如A：表示身高(单位：cm)在[150，155)内的学生人数)．图2是统计图l中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm(含160cm，不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A.i9B.i8C.i7D.i6【解析】身高在160～180cm(含160cm，不含180cm)的学生人数为4567AAAA,算法流程图实质上是求和,不难得到答案(B).8.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是【解析】随机取出2个小球得到的结果数有154102种(提倡列举).取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{1,2},{1,5},{2,4}共3种,故所求答案为(A).9．已知简谐运动()2sin()(||)32fxx的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为【解析】依题意2sin1,结合||2可得6,易得6T,故选(A).10.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件,但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整,最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为A．18B．17C．16D．15【解析】很多同学根据题意发现n=16可行,判除A,B选项,但对于C,D选项则难以作出选择,事实上,这是一道运筹问题,需要用函数的最值加以解决.设AB的件数为1x(规定:当10x时,则B调整了1||x件给A,下同!),BC的件数为2x,CD的件数为3x,DA的件数为4x,依题意可得415040xx,125045xx,235054xx,345061xx,从而215xx,311xx,4110xx,故调动件次11111()|||5||1||10|fxxxxx,画出图像(或绝对值的几何意义)可得最小值为16,故选(C).二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．11．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是．【解析】设所求抛物线方程为2yax,依题意2428aa,故所求为28yx.12．函数f(x)=xlnx(x0)的单调递增区间是．【解析】由()ln10fxx可得1xe,答案:1(,)e.13．已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，则其通项an=；若它的第k项满足5ak8，则k=【解析】{an}等差,易得210nan,解不等式52108k,可得8k14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ=3，则点(2，π/6)到直线l的距离为．【解析】法1:画出极坐标系易得答案2;法2:化成直角方程3y及直角坐标(3,1)可得答案2.15．(几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则∠DAC=．【解析】由某定理可知60DCAB,又ADl,故30DAC.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.16．(本小题满分14分)已知ΔABC_三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)．(1)若0ABAC,求c的值；(2)若C=5，求sin∠A的值．【解析】(1)(3,4),(3,4)ABACc…………………………………………………………4分由0ABAC可得3(3)160c………………6分,解得253c………………8分(2)当5c时,可得5,25,5ABACBC,ΔABC为等腰三角形………………………10分过B作BDAC交AC于D,可求得25BD……12分故25sin5BDAAB……14分(其它方法如①利用数量积ABAC求出cosA进而求sinA;②余弦定理正弦定理等!)17．(本小题满分12分)已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该儿何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S【解析】画出直观图并就该图作必要的说明.…………………3分(2)64V……………7分(3)40242S………12分18(本小题满分12分)F表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，崩最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程Y=bx+a；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值：32．5+43+54+64．5=66.5)【解析】(1)画出散点图.…………………………………………………………………………3分(2)4166.5iiixy,463xy,42186iix,2481x…………………………………7分由所提供的公式可得0.7b0.35a,故所求线性回归方程为0.70.35yx………10分(3)100(0.71000.35)29.65吨.………………………………………………………12分19(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy巾，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C与直线yx相切于坐标原点0．椭圆22219xya与圆c的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．(1)求圆C的方程；(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)设圆的方程为2()()8xsyt………………………2分依题意228st,||222st,0,0st…………5分解得2,2st,故所求圆的方程为2(2)(2)8xy……………………7分(注:此问若结合图形加以分析会大大降低运算量!)(2)由椭圆的第一定义可得2105aa,故椭圆方程为221259xy,焦点(4,0)F……9分设00(,)Qxy,依题意2200(4)16xy,2200(2)(2)8xy…………………11分解得00412,55xy或000,0xy(舍去)……………………13分存在412(,)55Q……14分20．(本小题满分14分)已知函数2()1fxxx,,是力程以()0fx的两个根(αβ),()fx是()fx的导数,设11()1,()nnnnfaaaafa(1,2,3,)n(1)求,的值；(2)已知对任意的正整数n有na,记lnnnnaba(1,2,3,)n,求数列{}nb的前n项和nS.【解析】(1)求根公式得152,152…………3分(2)()21fxx………4分21121nnnaaa………5分221,1……7分2222112221212lnlnlnln()2212nnnnnnnnnnnnnnaaaaaabbaaaaaa……10分∴数列{}nb是首项11151ln4ln2aba,公比为q2的等比数列………11分∴1(1)514(21)ln12nnnbqSq………………………………………………………14分21．(本小题满分l4分)已知a是实数,函数2()223fxaxxa.如果函数()yfx在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围.【解析】若0a,则()23fxx,令3()0[1,1]2fxx,不符题意,故0a………2分当()fx在[-1,1]上有一个零点时,此时48(3)01112aaa或(1)(1)0ff………6分解得372a或15a…………………………………………………………………8分当()fx在[-1,1]上有两个零点时,则48(3)01112(1)(1)0aaaff………………………………10分解得373722112215aaaaaa或或或即3711522aaa或或………………12分综上,实数a的取值范围为371(,][,)22.……………………………………14分(别解:222230(21)32axxaxax,题意转化为知[1,1]x求23221xax的值域,令32[1,5]tx得276att转化为勾函数问题.)