2007年普宁华侨中学高一数学竞赛试卷参考答案

第1页(共2页)2007年普宁华侨中学高一数学竞赛考试答题卷一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．13．14．{2,5}（或{5，2}）15．(2，3)16．②③三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分8分）集合A＝｛x｜x2－ax＋a2－19＝0｝，B＝｛x｜x2－5x＋6＝0｝，C＝｛x｜x2＋2x－8＝0｝．（1）若A∩B＝A∪B，求a的值；（2）若A∩B，A∩C＝，求a的值．【解】：由已知，得B＝｛2，3｝，C＝｛2，－4｝.---------------------1分(1)∵A∩B＝A∪B，∴A＝B-----------------------------------2分于是2，3是一元二次方程x2－ax＋a2－19＝0的两个根，由韦达定理知：1932322aa解之得a＝5.------------------------------4分(2)由A∩BA∩B，又A∩C＝，得3∈A，2A，－4A，由3∈A，得32－3a＋a2－19＝0，解得a＝5或a=－2-------------------------6分当a=5时，A＝｛x｜x2－5x＋6＝0｝＝｛2，3｝，与2A矛盾；---------7分当a=－2时，A＝｛x｜x2＋2x－15＝0｝＝｛3，－5｝，符合题意.-----------8分18．（本小题满分8分）如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线)0(ttx左侧的图形的面积为tf。试求函数tf的解析式，并画出函数)(tfy的图象.【解】：-5分-------------------2,3-4分-------21,)2(2332分---------------10,23)(22ttttttfy图像为：------------------------------8分题号123456789101112答案CBCBCABDCBCDOAxyx=tBOty12312第2页(共2页)19．（本小题满分12分）已知：xxxf1ln1ln.（1）求)0(f;（2）判断此函数的奇偶性;（3）若2lnaf，求a的值.【解】：（1）因为xxxf1ln1ln所以)0(f=000)01ln()01ln(----------------------2分（2）由01x，且01x-----------------------------------3分知11x所以此函数的定义域为：（-1，1）--------------------------------4分又))1ln()1(ln()1ln()1ln()(xxxxxf)(xf--------------6分由上可知此函数为奇函数.----------------------------------------8分（3）由2lnaf知aa1ln1ln2ln11lnaa得-----------10分11a且211aa解得31a所以a的值为：31----------12分20．（本小题满分12分）如图,四棱锥P-ABCD的底面是AB=2,BC=2的矩形,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD.（Ⅰ）证明:BC⊥侧面PAB;（Ⅱ）证明:侧面PAD⊥侧面PAB;（Ⅲ）求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小.【解】：（Ⅰ）证:∵侧面PAB垂直于底面ABCD,且侧面PAB与底面ABCD的交线是AB,在矩形ABCD中,BC⊥AB,∴BC⊥侧面PAB.-------------3分（Ⅱ）证:在矩形ABCD中,AD∥BC,BC⊥侧面PAB,∴AD⊥侧面PAB.------5分又AD在平面PAD上,所以,侧面PAD⊥侧面PAB-------------------6分（Ⅲ）解:在侧面PAB内,过点P做PE⊥AB.垂足为E,连结EC,∵侧面PAB与底面ABCD的交线是AB,PE⊥AB.∴PE⊥底面ABCD.于是EC为PC在底面ABCD内的射影,-----------8分∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角,---------------------10分在△PAB和△BEC中,易求得PE=3,3EC,在Rt△PEC中,∠PCE=450---------------------------------------12分【说明】本答案仅供参考，不作唯一标准，建议按逻辑点给分。ABPCD