2007年高考数学(理科)试卷及答案(安徽卷)

2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．书写。在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。4．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P（A+B）=PA．+PB．S=4лR2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P（A·B）=PA．+PB．球的体积公式1+2+…+n2)1(nnV=334R12+22+…+n2=6)12)(1(nnn其中R表示球的半径13+23++n3=4)1(22nn第Ⅰ卷（选择题共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列函数中，反函数是其自身的函数为A．,0,)(3xxxfB．,,)(3xxxfC．),(,)(xexfxD．),0(,1)(xxxf2．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“l”是lm且“ln”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．若对任意xR,不等式x≥ax恒成立，则实数a的取值范围是A．a＜-1B．a≤1C．a＜1D．a≥14．若a为实数，iai212＝-2i，则a等于A．2B．—2C．22D．—225．若8222xxA，1logR2xxB，则)(CRBA的元素个数为A．0B．1C．2D．36．函数)3π2sin(3)(xxf的图象为C，①图象C关于直线1211x对称；②函灶)(xf在区间)12π5,12π(内是增函数；③由xy2sin3的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C.以上三个论断中，正确论断的个数是A．0B．1C．2D．37．如果点P在平面区域02012022yxyxyx上，点Q在曲线1)2(22yx上，那么QP的最小值为A．15B．154C．122D．128．半径为1的球面上的四点DCBA,,,是正四面体的顶点，则A与B两点间的球面距离为A．)33arccos(B．)36arccos(C．)31arccos(D．)41arccos(9．如图，1F和2F分别是双曲线)0,0(12222babrax的两个焦点，A和B是以O为圆心，以1FO为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ABF2是等边三角形，则双曲线的离心率为A．3B．5C．25D．3110．以)(x表示标准正态总体在区间（x,）内取值的概率，若随机变量服从正态分布),(2N，则概率)(P等于A．)(-)(B．)1()1(C．)1(D．)(211．定义在R上的函数)(xf既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程0)(xf在闭区间TT,上的根的个数记为n，则n可能为A．0B．1C．3D．5第Ⅱ卷（非选择题共95分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。12．若（2x3+x1）n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于。13．在四面体O-ABC中，DcOCbOBaAB,,,为BC的中点，E为AD的中点，则OE=（用a，b，c表示）。14．如图，抛物线y=--x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1，P2，…，Pn-1，过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1，△Q2P1P2，…，△Qn-1Pn-1Pn-1，当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为。15．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号．．）。①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体。三、解答题：本大题共6小题，共79分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（本小题满分12分）已知0＜a＜)82cos()(,4xxf为的最小正周期，),1),41(tan(aab=（cosa，2），且a·b=m。求sincos)(2sincos22的值。17．（本小题满分14分）如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2。（Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；（Ⅱ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；（Ⅲ）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值圾示）。18．（本小题满分14分）设a≥0，f（x）=x－1－ln2x＋2alnx（x0）。（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0，＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x1时，恒有xln2x－2alnx＋1。19．（本小题满分12分）如图，曲线G的方程为y2=2x（y≥0）。以原点为圆心，以t（t0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B。直线AB与x轴相交于点C。（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定值。20．（本小题满分13分）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔。以ξ表示笼内还剩下的果蝇．．．．．的只数。（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；（Ⅱ）求数学期望Eξ；（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）。21．（本小题满分14分）某国采用养老储备金制度。公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利。这就是说，如果固定年利率为r（r0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）n－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）n－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额。（Ⅰ）写出Tn与Tn-1（n≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列。2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分55分。1．D2．A3．B4．B5．C6．C7．A8．C9．D10．B11．D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。12．713．cba41412114．3115．①③④⑤三、解答题16．（本小题满分12分）本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力.本小题满分12分。解：因为为)8π2cos()(xxf的最小正周期，故π因a·b=m，又a·b＝2)41tan(cosaa，故.2)41tan(cosmaa由于4π0a，所以sincosπ)22sin(cos2sincos)(2sincos222a=sincos)sin(coscos2sincos2sincos22=1tanπ2cos2costan()2(2)1tan4m17．（本小题满分14分）本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力.本小题满分14分。解法1（向量法）：以D为原点，以DA,DC,1DD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系xyzD如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），).2,0,0(),2,1,0(),2,1,1(),2,0,1(1111DCBA（Ⅰ）证明：),0,2,2(),0,1,1(11ACCA),0,2,2(),0,1,1(11DBBD.2,21111BDDBCAAC平行，与平行，与1111BDDBCAAC于是11CA与AC共面，11DB与BD共面.（Ⅱ）证明：，）＝，，（），，＝（00222001ACDD，）＝，，（），，＝（0022022ACDB.1ACDBACDD，，是平面与111BDDBDBDD内的两条相交直线，.11BDDBAC平面又平面，过ACACCA11.1111BDDBACCA平面平面（Ⅲ）解：.210211201111），，＝（），，，＝（），，，＝（CCBBAA设的法向量，为平面11111),,(ABBAzyxn,02,021111111zyxBBnzxAAn于是).1,0,2(,2,1,0111nzzy则取设的法向量，为平面11222),,(BCCBzyxm.02,022212221zyCCmzyxBBm于是).1,2,0(,2,1,0222myzx则取1cos,5mnmnmn11πarccos5ABBC二面角的大小为解法2（综合法）：（Ⅰ）证明：，平面平面ABCDDDDCBADD111111,111111,DCBADCDDDADD平面，∥平面ABCD.于是11DC∥CD，11AD∥DA.设E，F分别为DA，DC的中点，连结EF，,,11FCEA有EA1∥FCDD11,∥.1,1,1DFDEDD∴EA1∥,1FC于是11CA∥.EF由DE=DF=1,得EF∥AC，故11CA∥,AC11CA与AC共面.过点，，连结，则于点平面作OFOEFCOBEAOBOABCDOBB.//,//111111于是.////1111OFOECBOFABOE，，.,1111ADOEDAAB.,1111CDOFDCCB所以点O在BD上，故.11共面与DBBD（Ⅱ）证明：,11ACDDABCDDD，平面又BD⊥AC（正方形的对角线互相垂直），111BDDBBDDD是平面与内的两条相交直线，.11BDDBAC平面又平面,111111BDDBACCAACACCA平面平面，过（Ⅲ）解：∵直线DB是直线,1DBACABCDBB上的射影，在平面根据三垂线定理，有AC⊥.1BB过点A在平面,,111MOMCMBBAMAABB，连结于内作则，平面AMCBB1于是，，MOBBMCBB11所以，∠AMC是二面角.1的一个平面角CBBA根据勾股定理，有.6,5,5111BBCCAA有,1BBOM,310,310,32,3211CMAMBMBBOBOBOM＝,512cos222CMAMACCMAMAMC,51arccosπAMC二面角11πarccos5ABBC的大小为18．（本小题满分14分）本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和