主矢

14-1空间汇交力系4-2力对点的矩和力对轴的矩4-3空间力偶4-4空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩4-5空间任意力系的平衡方程4-6平行力系的中心与重心第四章空间力系24.1空间汇交力系力在直角坐标轴上有两种投影方式，如图所示，即直接投影(又称一次投影)和间接投影(又称二次投影)。(b)二次投影xyzxFzFyFxyFFO(a)一次投影xyxFzFFyFOz力的作用线不在同一平面内的力系，称为空间力系。与平面力系一样，可以把空间力系分为空间汇交力系、空间力偶系和空间任意力系。4.4.1力在直角坐标轴上的投影31)直接投影法(b)二次投影xyzxFzFyFxyFFOcosFFxcosFFycosFFz2)间接投影法cossinFFxsinsinFFycosFFz(a)一次投影xyxFzFFyFOz44.1.2空间汇交力系的合成RiFFR12R12R12xxxxnxyyyynyzzzznzFFFFFFFFFFFFFFF•空间汇交力空间汇交力系是指力系的作用线在空间分布且汇交于一点的力系。空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点，即写成投影形式为5这样，合力的大小和方向可分别表示为222222RRRRRRRRRRRRR()()()coscoscosxyzxyzyyxzxzFFFFFFFFFFFFFFFFFFF，，式中α，β，γ，分别为合力FR与x，y，z轴正向间的夹角。4.1.3空间汇交力系的平衡条件空间汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零，即R0iFF为使合力为零，必须同时满足0xF0yF0zF上式称为空间汇交力系的平衡方程。6【例4-1】如图所示的结构，三杆用铰链连接起来，重量为10kN的物块挂在点D，试求三杆所受的力。解：取节点D为研究对象，受力分析如图所示。建立如图所示的坐标系，列平衡方程DBFzBODCFDG1545ACxyDAF45300xFcos45cos450DBDAFF0yFsin45cos30sin45cos30cos150DBDACDFFF0zFsin45sin30sin45sin30sin150DBDADCFFFG联立求解，可得三杆所受的力分别为335kNDCF.26.4kNDADBFF7一个力使物体绕空间某个点转动不仅和力矩的大小、转向有关，而且还和力与矩心所组成的平面的方位有关，这三个因素可以用一个矢量来描述。4.2力对点之矩和力对轴之矩如图所示的空间力F对空间任一点O的矩是矢量，称为力矩矢，用MO(F)表示。F)(FMOxyzrOABFrFM)(O4.2.1力对点之矩8力F对点O的矩可表示为kjikjiFrFM)()()()(xyzxyzzyxOyFxFxFzFzFyFFFFzyx若用，，分别表示力矩矢在x，y，z轴上的投影，则有xO)]([FMyO)]([FMzO)]([FMyzxOzFyF)]([FMzxyOxFzF)]([FMxyzOyFxF)]([FM94.2.2力对轴之矩zxyxy()()OMMFdFF力对轴之矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，力对轴之矩是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平面与该轴的交点之矩，如图所示的力F对轴z的矩可表示为dxbzaFxyFb'yOa'zzFFxFxyFxyxFyFxyFxyOABabyFz10其正负号按右手螺旋法则确定，即以右手四指的绕向表示力使物体绕轴转动的方向，大姆指指向与z轴一致时为正，反之为负。通过分析得到力对轴之矩等于零的两种情况：(1)力与轴相交，即d=0；(2)力与轴平行，即Fxy=0。两种情况综合起来，即当力与轴在同一平面时，力对该轴之矩等于零。4.2.3力对点之矩和力对过该点的轴之矩间的关系力对点之矩在通过该点的某坐标轴上的投影，等于力对该轴之矩，即)()]([)()]([)()]([FFMFFMFFMzzOyyOxxOMMM114.2.4合力矩定理R12()()()OOOMFMFMF1FxyzrOA2FRFR12()OAAMFrFrF空间汇交力系的合力对任一点之矩，等于各分力对同一点之矩的矢量和。证明:R12()()()OOOMFMFMF12【例4-2】已知力F位于圆盘C处的切平面内，尺寸与角度如图所示，求力F对x,y,z轴的力矩。解：力F在三个坐标轴上的投影为3cos60cos304xFFF1cos60sin304yFFF3sin602zFFF而力作用点的坐标分别为1sin302xrrzh3cos302yrrOB60rhAFxyzxyFzFyFxyFC30xF13代入力对轴之矩计算公式，可得力对三个坐标轴的矩分别为33()(3)2244xzyFFMyFzFrFhhrF333()()4224yxzrMzFxFhFFFhrF11331()24242zyxMxFyFrFrFFrF4.1空间力偶4.3.1力偶矩以矢量表示——力偶矩矢如图所示的空间力偶(F，F')对于任一点的矩可表示为14OABM'FrF力偶对刚体作用效果取决于三要素：(1)力偶矩的大小；(2)力偶的转向；(3)力偶作用面的方位。1M2M作用在刚体上的平行平面内的两个力偶，如图所示，若其力偶矩大小相等，转向相同，则两力偶等效。即作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等，则它们彼此等效。FrM154.3.2空间力偶系的合成与平衡条件R121nniiMMMMM空间力偶系可以合成，得到一个合力偶，合力偶的矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。写成投影形式1M2MRMAR121nxxxxnxiiMMMMMR121nyyyynyiiMMMMMR121nzzzznziiMMMMM16222R()()()xiyiziMMMM合力偶矩的大小为空间力偶系平衡的充分必要条件是：该力偶系中所有各力偶矩矢的矢量和等于零。即R10niiMM对于平面力偶系，上式退化为代数式，即R10niiMM17xCAiyj1'F1F2F2'F3F3'FOB0xiM0yiM0ziM上式称为空间力偶系平衡方程，即空间力偶系平衡的充分必要条件是各力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。【例4-3】如图所示的机构由3个圆盘A、B、C和轴组成，圆盘半径分别为rA=15cm，rB=10cm，rC=5cm。轴OA、OB和OC在同一平面内。在这三个圆盘的边缘上各自作用力偶使机构保持平衡，已知F1=100N，F2=200N，不计自重，求力F3和角θ的大小。18解：各力偶写成矢量表达式为1130AFdMii2240BFdMjj333cos(90)sin(90)CCFdFdMij要使机构在三个力偶的作用下处于平衡状态，即030sin3CdF040cos3CdF3500NF14313.解得xCAiyj1'F1F2F2'F3F3'FOB194.4空间任意力系向一点简化·主矢和主矩4.4.1空间任意力系向一点简化OnF1F2FxyzOxyn'F2'F1'F1M2MnMzyR'FOMOzx空间汇交力系合成后得一力FR'，称为原空间任意力系的主矢。空间力偶系合成为一力偶MO，称为原空间任意力系对简化中心O的主矩。R1111nnnnixiyiziiiii'FFFFFijkniiiniiOO11)()(FrFMM20由力矩的解析表达式，有111()()()nnnOiziiyiixiiziiyiixiiiiyFzFzFxFxFyFMijk空间任意力系向任一点简化，可得到一力和一力偶。分别称为该力系的主矢和主矩。与平面任意力系一样，主矢与简化中心O点的选择无关，而主矩与简化中心O点的选择有关。4.4.2空间任意力系的简化结果分析(2)当FR'≠0，MO=0时，空间任意力系简化为一合力，合力通过简化中心。根据主矢和主矩是否等于零，而将空间任意力系的简化结果分为四种可能情况:(1)当FR'=0，MO≠0时，空间任意力系简化为一合力偶，此时主矩与简化中心的选择无关。21(3)当FR'≠0,MO≠0时，我们针对两种不同情况进行讨论:①当MO⊥FR时，可将力偶MO用通过O点且垂直于MO的平面内一对力FR和FR‘’代替，由加减平衡力系原理，原空间任意力系可进一步简化通过另一点的一个合力，图中d为ROdFM'OdRFOR'FR''FOdRF'OOMOR'F22OMOR'FOMOR'F②当MO∥FR'时，空间任意力系简化为力螺旋。力螺旋是由一个力和一力偶组成的力系，不能进一步合成。其中的力垂直于力偶的作用面。符合右手螺旋法则的称为为右螺旋，而符合左手螺旋法则的称为左螺旋，如图所示。(4)当FR'=0，MO=0时，空间任意力系平衡23空间任意力系平衡的必要和充分条件是这力系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即4.5空间任意力系平衡方程R0'F0OM由于主矢和主矩的大小可分别表示为222R()()()xyzF'FFF222))(())(())((FFFzyxOMMMM故空间任意力系平衡方程可写为000()0()0()0xyzxyzFFFMMMFFF，，，，24空间任意力系平衡的必要和充分条件是：所有各力在3个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每个坐标轴的矩的代数和也等于零。力系的类型方程形式方程个数空间任意力系Fx=0Fy=0Fz=0Mx(F)=0My(F)=0Mz(F)=06空间汇交力系Fx=0Fy=0Fz=03空间平行力系Fz=0Mx(F)=0My(F)=03空间力偶系Mx=0My=0Mz=03平面任意力系Fx=0Fy=0MA(F)=03平面汇交力系Fx=0Fy=02平面平行力系Fy=0MA(F)=02平面力偶系Mi=0125解：(1)取薄板为研究对象(2)受力分析如图所示(3)列静力平衡方程解之得绳子的拉力为【例4-4】如图所示的均质正方形薄板重Q=200N，用球铰链A和蝶铰链B固定在墙上，并用绳子CE维持水平位置，绳子CE缚在薄板的C点，并挂在钉子E上，钉子钉入墙内，并和点A在同一铅直线上。求绳子的拉力T和A、B的支座反力。AyFAxDCQB30ºyzEBxFBzFAzFAxFT200NTQ()0yMFsin3002BCTBCQ26()0zMF0BxFAB解得0BxF()0xMFsin3002BzCDTCDFCDQ0BzF解得AyFAxDCQB30ºyzEBxFBzFAzFAxFT0xFcos30cos450AxBxFFT解得cos30cos451224NAxFT.270zFsin300AzBzFFTQsin30100NAzFTQ解得0yFcos30sin450AyFTcos30sin451224NAyFT.解得AyFAxDCQB30ºyzEBxFBzFAzFAxFT28解：(1)取正方形板为研究对象(2)受力图如图所示(3)列平衡方程0zF0ABCFFFP()0xMF0222ABCaaaFFF()0yMF044BCbbFF联立求解，可得400N200NABCFFF，CFABCO