2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛(中国人口增长预测模型)III

2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：福州大学参赛队员(打印并签名)：1.李译(13514076602)2.李志坤(13599393672)3.殷婷指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2007年9月24日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1中国人口增长预测摘要：针对题目所提要求，我们建立了两个中国人口预测模型，分别用于对中国人口的发展趋势做短期和中长期的预测。为了对中国人口发展做短期的预测，考虑到题目所给的数据资料的不全面，我们由马尔萨斯的人口指数增长模型得到启发，针对中国人口发展的特点，把出生率和死亡率函数这两大对人口增长起主要作用的因素作为建模的关键参数，在附件中没有给出中国近年总人口数的情况下，建立了短期内预测中国人口增长的微分方程模型。在该模型中，为了得到出生率和死亡率函数这两个重要参数，我们通过分析题目所给数据，提取出有效信息，计算归纳出2001年到2005年的出生率和死亡率，并在此基础上引入灰色模型，用于对出生率和死亡率进行预测，得出了出生率和死亡率关于时间的函数。较准确的估计出了人口增长的关键参数，使得建立的人口增长短期预测模型不仅符合中国人口的发展特点，而且简单易用，能在未知总人口数的情况下预测人口的相对发展变化，这一优点使得可以方便且准确的用于预测中国人口短期内的发展趋势。为了对中国人口发展做中长期的预测，考虑到短期模型在预测人口中长期发展中的局限性以及影响人口发展的众多因素的不确定性和它们之间关系的复杂性，我们利用灰色动态模型的特点，从《中国统计年鉴》中查到了中国近年的人口总数（见附表一），把人口数做为灰色量，对原始各年人口序列进行分段建模，对各分段模型进行定性分析比较，根据各阶段宏观指标的相关确定一组适当的权数，进行预测模型的最优组合，以确定最优预测模型，从而建立了中长期预测中国人口增长的灰色动态系统人口模型，对中国人口进行了中长期的预测。在对中国总人口进行短期和中长期的总体预测后，我们从附件中提取出城、镇、乡三地人口、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等相关数据，对中国未来城、镇、乡三地人口比例、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等影响人口发展的主要因素做趋势预测，从而达到了对中国人口全方位的预测。关键词：出生率、死亡率、指数增长模型、灰色动态模型、性别比、老龄化、生育率。2一、问题重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1)还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。二、基本假设1、把市镇乡看成独立封闭的系统，即不考虑迁入迁出的因素对人口的影响。2、妇女的总和生育率设为1.8。3、忽略经济，社会环境，资源等因素对人口的影响。三、符号说明City(T):附件所给数据中的第T年城市人数Town(T):附件所给数据中的第T年城镇人数Village(T):附件所给数据中的第T年的乡村人数iM：i=1,2,3分别表示城市，城镇，乡村男性比率iW：i=1,2,3分别表示城市，城镇，乡村女性比率iMd：i=1,2,3分别表示城市，城镇，乡村男性死亡比率iWd：i=1,2,3分别表示城市，城镇，乡村女性死亡比率Deads：死亡人数Borns:出生人数iB：育龄妇女比率(15岁～49岁)i=1,2,3分别表示城市，城镇，乡村育龄妇女比率3iBc：i=1,2,3分别表示城市，城镇，乡村女性生育率T：年份t:年份表达变量b(t):出生率随时间变化的函数d(t):死亡率随时间变化的函数N(t):总人口数随时间变化的函数0N：2001年人口数量（见附录一）四、问题分析与建模及人口预测中国人口增长的数学模型：4.1用于短期预测的模型：根据附件所给材料中的数据，计算第T年的死亡人数及出生人数：公式为：Deads=City(T)*(M1*Md1+W1*Wd1)+Town(T)*(M2*Md2+W2*Wd2)+Village(T)*(M3*Md3+W3*Wd3)Borns=City(T)*B1*Bc1+Town(T)*B2*Bc2+Village(T)*B3*Bc3计算第T年的出生率b(t)=Borns/(City(T)+Village(T)+Town(T))死亡率d(t)=Deads/(City(T)+Village(T)+Town(T))得如下表格：Tt出生率b(t)死亡率d(t)200100.017408450.00963373200210.0163903720.00936573200320.0157747410.00911349200430.0163415150.00896989200540.0143393630.00789073对于序列X(t)={X(0),X(1),X(2)…X(n)}根据灰色模型中较常用的GM(1,1)模型：()()dXtaXtudt（1）来预测b(t),d(t)的趋势。（1）参数a,u的估计及X(t)预测方程的求解将（1）写成()[()]dXtaXtudt，将t换为t+1并与原式做算术平均得：11{[()(1)]}['()'(1)]22aXtXtuXtXt（2）4我们可以用差分DX(t)=X(t+1)-X(t)近似代替（2）式右端得：1{[()(1)]}()2aXtXtuDXt记A=au，用最小二乘法估计出系数矩阵A。A=1TTBBBC。其中，1((0)(1))121((1)(2))12........1((1)())12XXXXBXnXn((0),(1)...(1))TCDXDXDXn,(DX(t)=X(t+1)-X(t))有了a,u的估计值之后，我们就可以求解（1）的微分方程。（1）式两端同乘以ate得()()atatatdXteaeXteudt，可化为{()}atatdeXteudx（3）两边取不定积分得()ateXt=ateudtc（c为待定常数）解得X(t)=atucea，将t=0代入得c=X(0)-ua。所以有X(t)预测方程：X(t)=[X(0)-ua]ate+ua。（2）短期预测模型将b(t),d(t)(t=0~4)的值代入上述GM(1,1)模型的X(t)中求解。1对于b(t)={0.01740845,0.016390372,0.015774741,0.016341515,0.014339363}得0.0202792510.019297710.0192697510.01840841bB(0.001018078,0.000615631,0.000566774,0.002002152)TbC1()()(0.21878,0.00515288)TTTbbbbbABBBC,即a=-0.21878,u=-0.00515288得预测方程：0.21878()0.002662660.0235528tbte(4)52对于d(t)={0.00963373,0.00936573,0.00911349,0.00896989,0.00789073}0.0094997310.0092396110.0090416910.008430311dB(0.000268,0.00025224,0.0001436,0.00107916)TdC1()()(0.209686,0.0023334)TTTdddddABBBC得预测方程0.209686()0.001494370.0111281tdte(5)所以增长率函数为0.2096860.21878()0.001494370.002662660.0124247ttgtee则对总人口数N(t)，有：0.2096860.21878()()(0.001494370.002662660.0124247)ttdNtgtNeeNdt（6）且有初值条件N(0)=0N=12.7627亿人(0N为2001年的总人口数，由参考文献[]得)解该微分方程（6）得：0.2096860.218780.00712670.012170.01242470.00504330()tteetNtNe此式可用来预测短期内（附件所给数据截至2005年，预测期为2006~2011年）的人口趋势Tt总人口数（亿人）2006513.43272007613.54442008713.64242009813.72282010913.780520111013.80914.2用于中长期预测的模型：鉴于影响人口发展的众多不确定因素，我们应用灰色动态模型GM(1,1).为了得到最准确的预测结果，在选取数据年份和年数上，我们进行了认真的分析验证。数据筛选过程如下：61、我们选取了1970—1980和1980—1990这两段时间的人口数，带入灰色动态模型中，计算出1995-1999这个时间段的人口数，和查得的资料数据进行比较，得到表格如下：年实际总人口(万人)1970-1980预测值预测误差1980-1990预测值预测误差1965-1980预测值预测误差19951211211208660.211226511.261294296.8619961223891223450.041243301.591314587.4119971236261238250.161260041.921336228.0919981248101253090.41276942.311358708.8619991259091269010.711294042.781381519.72结论1：年份越近，预测越准。2、我们选取1989-19946年和1988-19958年的时间段的人口数，带入灰色动态模型中，计算出1996-1999这个时间段的人口数，和查得的资料数据进行比较，得到表格如下：年实际总人口(万人)1989-1994预测值预测误差1988-1995预测值预测误差19961223891222160.1411225430.12619971236261233370.2341237960.13819981248101244000.3291250520.19419991259091260660.3251263090.318结论2：年份越少，预测越准。于是，我们选取1999-2