2008-2009高数2期中试卷解答

西南交通大学2008－2009学年第(2)学期期中考试试卷解答2009．4一、选择题（每小题3分，共计15分）1、下列微分方程中，通解是)sincos(xCxCeyx2221的方程是B。(A)．032yyy；(B)．052yyy；(C)．02yyy；(D)．0136yyy。2、微分方程xxeyyy265的特解形式是yA。(A)．xxebax2)(；(B)．xebax2)(；(C)．beaxx22；(D)．baex2。3、设f为可微函数，)(bzyfazx，则yzbxzaA。(A)．1；(B)．a；(C)．b；(D)．ba。4、设D是以原点为圆心，R为半径的圆围成的闭区域，则dDxyC。(A)．44R；(B)．34R；(C)．24R；(D)．4R。5、设),(yxf在1010xxyD,:上连续，则二重积分Dyxfd),(表示成极坐标系下的二次积分的形式为D。(A)．1200d(cos,sin)dfrrrr；(B)．cossin200d(cos,sin)dfrrrr；(C)．1cos200d(cos,sin)dfrrrr；(D)．12cossin00d(cos,sin)dfrrrr。班级学号姓名密封装订线密封装订线密封装订线二、填空题（每小题4分，共计24分）1、设xyxyz)(，则zddyxxyxydxxxyyxyxyxy)ln(1)())ln(1()(2，在点),(21P处的梯度Pzgrad)ln2)4(1,)2ln1(8(。2、已知xy1是微分方程02222yyxyx的解，则此方程的通解为xCxCy121。（提示：xy12也是此方程的一个解）3、D由曲线22(1)(1)1xy所围成的闭区域，则()Dxydxdy=。4、函数xyzu在点),,(215处从点),,(215到点),,(1449的方向导数是1398。)21,3,4(l，)21,3,4(1310l，)5,10,2(grad)2,1,5(u，1398grad)2,1,5(0ullu5、曲线2252121xzxy在点),,(211处的切线方程为522111zyx，法平面方程为25130xyz。注意：)5,2,1(s，点),,(211；法平面方矢)5,2,1(sn。6、改变积分次序01arcsin12arcsin0arcsind(,)dd(,)dyyyyfxyxyfxyx0sin2sin),(xxdyyxfdx。三、计算题（每小题7分，共计49分）1、求微分方程0111013)(,)(yyyy的特解。解：令dxdyyp)(，则dydppy，原方程化为13dydppy，解出1221Cyp。将0)1()1(,1)1(ypy代入得11C。所以微分方程为dxydyy21。积分得221Cxy，将1)1(y代入得12C。于是)1(12xy，即222)1(1xxxy。因为曲线过点)1,1(，所以y应为非负，故所求解为22xxy2、用两种(齐次方程、一阶线性)方法求微分方程0dd2xyyxy)(的通解。1）齐次方程：12xyxydxdy；令yuyxux，则原方程变为：2221duuxdxu，0u时，有2212udxduux，从而1lnln2uxcu，即lnln2yxxcxy为解，显然0u即0y为特解。2）0y时原方程变为一阶线性微分方程：21xydydx。11(2)2lndydyyyxeedycyycy，0y为特解。3、已知),(fz具有二阶连续偏导数，利用线性变换byxayx变换方程0322222yzyxzxz。问：当ba,取何值时，方程化为02z。解：zzxz，zbzayz。22222222zzzxz，2222222222zbzabzayz，222222)(zbzbazayxz所以222223yzyxzxz0)31()2332()31(2222222zbbzabbazaa02z时，ba,应满足一元二次方程0312rr且02332abba。解得2532,1r，ba,取其任一值时，方程化为02z。4、求椭球面932222zyx的平行于平面01232zyx的切平面方程。解：设切点为000(,,)xyz，则222000239xyz，过切点的法向量为：000000462(4,6,2)//(2,3,2)232xyznxyzt，得00011,,22xtytzt，代入222000239xyz，得2t，切点为(1,1,2)或(1,1,2)，(2,3,2)n，故切平面方程为：23290xyz或232}90xyz。5、在经过点),,(3112P的平面中，求一平面，使之与三坐标面围成的在第一卦限中的立体的体积最小。解：设过点),,(3112P的平面方程为0)31()1()2(zCyBxA，即32CBACzByAx化为截距式方程1323232CCBAzBCBAyACBAx。平面与三坐标面围成的在第一卦限中立体的体积为ABCCBAV3)32(61由0AV，0BV，0CV得平面的法矢),,(CBAn满足621C：：：：BA。取)6,2,1(n，所求平面为662zyx。6、求110dsindxxxyyy。解：先交换积分次序110dsindxxxyyy=1y001dysindx=(1cos1)3xyy。7、设区域121:yxD，证明：0dd22Dyxyx)ln(。解：在区域D内，1)(24122222yxyxyxyx。22ln()0xy，所以0dd22Dyxyx)ln(。四、每小题6分，共计12分1、设222222,0(,)0,0xyxyfxyxyxy，用方向导数的定义证明：函数),(yxf在原点),(00沿任意方向的方向导数都存在。证明：因为)0,0()sin,cos(lim0ffsincossincoslim220，所以sincoslf。由于式中为任意的方向角，这说明函数沿任意方向的方向导数都存在。2、设000,0,0,dd])(1[)(2222222ttyxyxyxyxfxtftyx，若)(tf是连续可微的函数，求)(tf。解：0t时，ttyxrrfryxyxyxfxtf02202222d))((dcosdd])(1[)(222trrfr02d))((求导得)()(2tfttf。所以)(tf满足微分方程0)0()()(2fttftf。解得tetttf222)(2。