2007现代控制理论试题A卷及答案

2007现代控制理论试题A卷及答案一、（10分）考虑如图的质量弹簧系统。其中，m为运动物体的质量，k为弹簧的弹性系数，h为阻尼器的阻尼系数，f为系统所受外力。取物体位移为状态变量x1，速度为状态变量x2，并取位移为系统输出y，外力为系统输入u，试建立系统的状态空间表达式。解fma……………………………….……1分令位移变量为x1，速度变量为x2，外力为输入u，有122ukxkxmx………………………………2分于是有12xx………………………………..……………1分2121khxxxummm……….….……………….2分再令位移为系统的输出y，有1yx…………………………….……….1分写成状态空间表达式，即矩阵形式，有11220101xxukhxxmmm………..……………..2分1210xyx……………………..……….……….2分二、（8分）矩阵A是22的常数矩阵，关于系统的状态方程式xAx，有1(0)1x时，22tteex；2(0)1x时，2tteex。试确定状态转移矩阵(,0)t和矩阵A。解因为系统的零输入响应是(,0)(0)ttxx……………..……….……….2分所以221(,0)1ttete，22(,0)1ttete将它们综合起来，得22122(,0)11tttteetee……………….……….2分122222222122(,0)11122112222tttttttttttttttteeteeeeeeeeeeeeee…………….……….2分而状态转移矩阵的性质可知，状态转移矩阵0(,)tt满足微分方程00,,dttttdtA和初始条件00,ttI因此代入初始时间00t可得矩阵A为：0100022220(,)(,)222424tttttttttttdttttdteeeeeeeeA…………….……….1分0213…………………………………….……….1分三、（10分）（1）设系统为011,(0)011attutxbxx试求出在输入为(0)utt时系统的状态响应（7分）。(2)已知系统011,11341uyxxx，写出其对偶系统（3分）。解（1）00atbtete……………………………..…….……..1分0()(0)()dτttttuxxB……….….……….……..2分01010dτ1100atattbtbteetee….……..1分0dτatattbtbteeee.……….…………………..…..1分111=111atatbtbteteaaaetebbb…………………………..…..2分（2）031141uxx………….….……….……..2分11yx……….………………...……….……..1分四、（10分）（1）求系统111222102,11121xxxuyxxx的传递函数()gs.（5分）(2)求系统110102110111uxx的能控标准型（可以不求变换矩阵）。（5分）解(1)由状态空间表达式得到传递函数的公式为：1()()gscsIAb……….……….…………….1分由1012ssIAs…………...………………..1分得1101()11(1)(2)2ssIAsss………..………….1分于是21021()11111(1)(2)2333322sgssssssss…………..2分（2）110021011ssIAss………...……………….1分2(1)(1)sss…...………………………1分3221sssss…………..……………1分321ss……………………………………1分从而知能控标准型为010000101201uxx…………………………1分五、(10分）（1）利用Lyapunov第一方法判断系统平衡点0x的稳定性（5分）：111222124sin331xxxxxxxex（2）取QI，通过求解Lyapunov方程判断系统平衡点0x的稳定性（5分）：1153xx解（1）120114cos33xxxAe…………………………….2分1323……………………………………………….1分A的特征值为25，具有正实部…………………………..1分所以系统在平衡点0x不稳定……………………...……….1分（2）令abPbc0TAPPAQ………………………………………….1分210102502610abbcabc…………………………………………….1分4.5110.5P…………………………………………..….2分4.50,1.250P，P正定，大范围一致渐近稳定….1分六、（12分）（1）实数,ab满足什么条件时系统0132aubxx状态完全能控（4分）？（2）简述系统状态完全能控性的涵义，说明状态能控与输出能控的区别（4分）。（3）简述系统大范围渐近稳定的涵义（4分）解（1）cubAb…………………………………….………..…1分32abbab…………………………….………..…...1分22320cuaabb……………………..………..…...1分当0,0aorb时，系统状态完全能控………….…...1分（2）若系统状态完全能控，则在有限时间，有限控制下，能将系统由任意初始状态转移到任意制定的状态。……………………………..….2分大多数情况下系统状态能控可以保证输出能控，而输出能控往往不能保证状态能控。……………………………..….2分（3）涵义为对任意的初始状态，系统的平衡状态是Lyapunov意义下稳定的，……………………………..….2分且系统状态以该平衡状态为极限。……………………………..….2分七、（10分）（1）求观测增益F，使()zAFCzBuFy成为系统xAxBu0519x12u，24yx的全维状态观测器，且极点为13i（6分）。（2）判断系统能否利用状态反馈和输入的非奇异变换实现输入－输出解耦（4分）：010000300210000100020001xxu，10000010yx。解（1）2(13)(13)210sisiss……………………………………..….1分21212()(249)(14105)sIAFCsFFsFF……….2分121224921410510FFFF………………...……………….1分122.53FF，(2.53)F……………….………….2分（2）11220,(10)0,0,(01)0cBcABcBcAB…….1分1122(10),(01)EcABEcAB……………………………….1分121001EEE……………………………………..……………….1分E可逆，所以能够解耦……………………..…………………………….1分