2008届高三数学随堂测试(8)圆锥曲线

2008届高三数学随堂测试（8）圆锥曲线(时量:120分钟150分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知双曲线)0,0(12222babyax的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的离心率e为A．2B．3C．43D．532．已知双曲线的两个焦点是椭圆16410022yx的两个顶点，双曲线的两条准线经过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是A．1306022yxB．1405022yxC．1406022yxD．1305022yx3．已知P是椭圆116922yx上的一点，则P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为A．45B．54C．74D．474．若抛物线y2＝2px(p0)上一点到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则该点横坐标为A．10B．9C．8D．65．已知动点P（x，y）满足|1243|)2()1(522yxyx，则P点的轨迹是A．两条相交直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆6．过抛物线y2＝－x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且A、B在直线x＝14上的射影分别M，N，则∠MFN等于A．45°B．60°C．90°D．以上都不对7．直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同两点，则k的取值范围是A．(－153，153)B．(0，153)C．(－153，0)D．(－153，－1)8．已知直线l交椭圆4x2＋5y2＝80于M、N两点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点，则直线l的方程是A．5x＋6y－28＝0B．5x－6y－28＝0C．6x＋5y－28＝0D．6x－5y－28＝09．若动点P（x，y）与两定点M（－a，0），N（a，0）连线的斜率之积为常数k（ka≠0），则P点的轨迹一定不可能是A．除M、N两点外的圆B．除M、N两点外的椭圆C．除M、N两点外的双曲线D．除M、N两点外的抛物线10．点（x，y）在曲线)0(sincos2，yx为参数上，则yx的取值范围是A．[－33，33]B．[－33，0)C．[－33，0]D．(－∞，33]答题卡题号12345678910答案二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在横线上．11．双曲线)0,0(1)2(2222babyax的一条准线被它的两条渐近线截得线段的长度等于它的一个焦点到一条渐近线的距离，则双曲线的两条渐近线的夹角为．12．双曲线的两个焦点F1，F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为．13．已知F1、F2是椭圆)0(12222babyax的焦点，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围是．14．椭圆C1：)0(12222babyax在第一象限部分的一点P，以P点横坐标作为长轴长，纵坐标作为短轴长作椭圆C2，如果C2的离心率等于C1的离心率，则P点坐标为．15．设P是双曲线y2＝4(x－1)上的一个动点，则点P到点（0，1）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共80分）16．（本小题满分12分）过双曲线116922yx的右焦点F作倾斜角为π4的直线交双曲线于A、B两点，求线段AB的中点C到焦点F的距离．17．（本小题满分12分）已知双曲线x2－3y2＝3的右焦点为F，右准线为l，以F为左焦点，以l为左准线的椭圆C的中心为A，又A点关于直线y＝2x的对称点A’恰好在双曲线的左准线上，求椭圆的方程．18．（本小题满分14分）如图所示，在直角梯形ABCD中，|AD|＝3，|AB|＝4，|BC|＝3，曲线段DE上任一点到A、B两点的距离之和都相等．（1）建立适当的直角坐标系，求曲线段DE的方程；（2）过C能否作一条直线与曲线段DE相交，且所得弦以C为中点，如果能，求该弦所在的直线的方程；若不能，说明理由．19．（本小题满分14分）已知H（－3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足.23,0MQPMPMHP⑴当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；⑵过点T(－1，0)作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E(x0，0)，使得△ABE是等边三角形，求x0的值．20．（本小题满分14分）如图，椭圆12222byax上的点M与椭圆右焦点F1的连线MF1与x轴垂直，且OM（O是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行．（1）求椭圆的离心率；（2）F2是椭圆的左焦点，C是椭圆上的任一点，证明：∠F1CF2≤π2；（3）过F1且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q，若△PF2Q的面积是203，求此时椭圆的方程．21．（本小题满分14分）设x，y∈R，i，j为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8．（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设,OBOAOP是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．圆锥曲线参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）：题号12345678910答案DCDBBCDDDC二、填空题（每小题4分，共20分）11．60°12．16513．2[,1)214．22(,)22ab15．5三、解答题（共80分）16．解：由已知，AB的方程为y＝x－5，将其代入222112217903690.(,),(,)916xyxxAxyBxy得设，则1290.7xxAB的中点C的坐标为4580(,)77，于是224580802||()(0)777CF17．解：依题意，F（2，0），l：3.2x设所求方程为222222(2),01,(1)(43)3||2xyeeexexyx即2940,4e其中心为2243(,0).2(1)eAe∵A与A’关于直线y＝2x对称，∴A’的坐标为223(43)(,10(1)ee222(43))5(1)ee又A’在直线22233(4)31,,210(1)22exee上解之得。于是所求方程为22225()152320,1.1122824xyxxy即18．解：（1）以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，则A（－2，0），B（2，0），C（2，3），D（－2，3）．依题意，曲线段DE是以A、B为焦点的椭圆的一部分．2221(||||)4,2,12,1(24,023).21612xyaADBDcbxy所求方程为（2）设这样的弦存在，其方程223(2),(2)3,11612xyykxykx即将其代入得2222(34)(8316)16163360kxkkxkk设弦的端点为M（x1，y1），N（x2，y2），则由212122831632,4,4,.2342xxkkxxkk知解得∴弦MN所在直线方程为323,2yx验证得知，这时(0,23),(4,0)MN适合条件．故这样的直线存在，其方程为323.2yx19．解（1）设点M的坐标为（x，y），则由33.(0,),(,3),0,(3,)(,)0,22322yxyyPMMQPQHPPMx得由得所以y2＝4x由点Q在x轴的正半轴上，得x0，所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点．（2）设直线l：y＝k(x＋1)，其中k≠0代入y2＝4x，得k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0①设A（x1，y1），B(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两个实数根，由韦达定理得2121222(2),1kxxxxk所以，线段AB的中点坐标为2222(,)kkk，线段AB的垂直平分线方程为22212(),kyxkkk令0220,1yxk，所以，点E的坐标为22(1,0)k。因为△ABE为正三角形，所以，点E22(1,0)k到直线AB的距离等于222212122341||,||()()1.2kABABxxyykk而所以，220223121311,.||23kkkxkk解得所以20．（1）易得2222(,),,,2,.2OMABbbbbbcMckkbcaceaacaacaa（2）证：由椭圆定义得：2221212121212||||||||||2,cos2||||FCFCFFFCFCaFCFFCFC222121212442||||21.2||||||||acFCFCbFCFCFCFC22221212121222||||22||||(),cos110,.222FCFCbcFCFCaFCFFCFac（3）解：设直线PQ的方程为(),2()ayxcyxcb即．代入椭圆方程消去x得：22221(1)21ycyab，整理得：222121222252220,,.55ccycycyyyy∴2222222121222848143()().2||203,25,552525PFQccccyyScyyc因此a2＝50，b2＝25，所以椭圆方程为221.5025xy21．解：（1）∵a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8∴点M（x，y）到两个定点F1（0，－2），F2（0，2）的距离之和为8∴点M的轨迹C为F1、F2为焦点的椭圆，其方程为2211216xy（2）∵l过y轴上的点（0，3），若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点，这时0OPOAOB。∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾，∴直线l的斜率存在，设l的方程为y＝kx＋3，A（x1，y1），B(x2，y2)由2222223:(43)18120(18)4(43)(21)011216ykxykxkxkkxy消得此时恒成立．且1212221821,4343kxxxxkk∵OPOAOB，∴四边形OAPB是平行四边形若存在直线l使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，即0OAOB∵11221212(,),(,)0OAxyOBxyOAOBxxyy即222121222211855(1)3()90(1)()3()90,4343164kkkxxkxxkkkkkk即∴存在直线5:34lyx使得四边形OAPB为矩形．