2008常微分方程期中试卷

命题共2页第1页西南科技大学2007—2008学年第2学期《常微分方程》期中考试试卷课程代码163140270命题单位理学院数学与应用数学教研室学院：___班级:姓名：学号：___________一、单项选择题(52'10')1.下列选项中是方程''sinyx的通解是（）A．sin()yxB.sin()yxC.12sin()yxcxcD.12sin()yxcxc2.方程2'()()()ypxyqxyrx最确切的名称是（）A.一阶线性齐次方程；B.一阶线性方程；C.贝努利方程；D.Riccati方程3.下列微分方程中是可分离变量的方程是（）A.sin()0xxydxydy；B.'ln()yxy；C.xydyedx；D.21'xyyeyx4.微分方程'2yy满足条件(0)2y的特解是（）A.2xe；B.22xeC；C.2xCe；D.22xe5.下述方程中是全微分方程的是（）A.0xdyydxxy；B.220xdyydxxy；C.0xdyydx；D.220xdyydx二、填空题(53'15')1.具有性质“曲线上任一点的切线介于切点和纵坐标轴之间的线段长为1”的曲线所满足的微分方程是2.微分方程(,)(,)0MxydxNxydy存在只与x有关的积分因子的充分必要条件是3.一阶线性方程()()dypxyQxdx的通解公式为4.克莱罗（Clairaut）方程的一般形式为5.函数(,)fxy称为R上关于y满足局部Lipschitz条件是指三、求解下列常微分方程（本题共36分）命题共2页第2页1.24.dyxyxdx（本小题8分，限定使用常数变易法求解，否则计零分）2.(246)(3)0xydxxydy（本小题10分）3.22(363)(23)0,(0)0xxyydxxxydyy（本小题10分）4.22''''.yyyyy（本小题8分）四、试讨论方程212dyydx适合初值条件(0)0y的解的存在区间。（本题8分）五、试用Euler折线法，取步长h=0.1，求初值问题：2dd(1)1yxyxy的解在=1.4x时的近似值。（本题8分）六、判断方程22dyyxdx是否有奇解，若有试求出该奇解。（本题7分）七、试求Cauchy问题2(0)0dyxydxy在:1,1Rxy上与真实解之间的误差不超过0.2的近似解。（9分）八、证明题（本题7分，任选一题）1.试证明：对任意0x及满足条件001y的0y，方程22d(1)d1yyyxxy的满足条件00()yxy的解()yyx在(,)上存在．2.证明Gronwall不等式：设K为非负常数，(),()ftgt为在区间[,]ab上的连续非负函数，且满足不等式：()()(),taftKfsgsdsatb，则有：()exp(()),taftKgsdsatb附加题：试阐述解的存在唯一性定理，并叙述其主要证明思路。（本题8分，可记入总分）（答案一律写在答题纸上）