2008年考研数学二真题

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设2()(1)(2)fxxxx，则'()fx的零点个数为（）A0B1.C2D3（2）曲线方程为()yfx函数在区间[0,]a上有连续导数，则定积分0()atafxdx（）A曲边梯形ABCD面积.B梯形ABCD面积.C曲边三角形ACD面积.D三角形ACD面积.（3）在下列微分方程中，以123cos2sin2xyCeCxCx（123,,CCC为任意常数）为通解的是（）A''''''440yyyyB''''''440yyyyC''''''440yyyyD''''''440yyyy（5）设函数()fx在(,)内单调有界，nx为数列，下列命题正确的是（）A若nx收敛，则()nfx收敛.B若nx单调，则()nfx收敛.C若()nfx收敛，则nx收敛.D若()nfx单调，则nx收敛.（6）设函数f连续，若2222()(,)uvDfxyFuvdxdyxy，其中区域uvD为图中阴影部分，则FuA2()vfuB2()vfuuC()vfuD()vfuu（7）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵.若30A，则（）AEA不可逆，EA不可逆.BEA不可逆，EA可逆.CEA可逆，EA可逆.DEA可逆，EA不可逆.（8）设1221A，则在实数域上与A合同的矩阵为（）A2112.B2112.C2112.D1221.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）已知函数()fx连续，且201cos[()]lim1(1)()xxxfxefx，则(0)____f.（10）微分方程2()0xyxedxxdy的通解是____y.（11）曲线sinlnxyyxx在点0,1处的切线方程为.（12）曲线23(5)yxx的拐点坐标为______.（13）设xyyzx，则(1,2)____zx.（14）设3阶矩阵A的特征值为2,3,.若行列式248A，则___.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分9分）求极限40sinsinsinsinlimxxxxx.(16)（本题满分10分）设函数()yyx由参数方程20()ln(1)txxtyudu确定，其中()xt是初值问题0200xtdxtedtx的解.求22yx.(17)（本题满分9分）求积分120arcsin1xxdxx.(18)（本题满分11分）求二重积分max(,1),Dxydxdy其中{(,)02,02}Dxyxy(19)（本题满分11分）设()fx是区间0,上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f.对任意的0,t，直线0,xxt，曲线()yfx以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()fx的表达式.(20)（本题满分11分）(1)证明积分中值定理：若函数()fx在闭区间[,]ab上连续，则至少存在一点[,]ab，使得()()()bafxdxfba(2)若函数()x具有二阶导数，且满足32(2)(1),(2)()xdx，证明至少存在一点(1,3),()0使得（21）（本题满分11分）求函数222uxyz在约束条件22zxy和4xyz下的最大值与最小值.（22）（本题满分12分）设矩阵2221212nnaaaAaa，现矩阵A满足方程AXB，其中1,,TnXxx，1,0,,0B，（1）求证1nAna；（2）a为何值，方程组有唯一解，并求1x；（3）a为何值，方程组有无穷多解，并求通解.（23）（本题满分10分）设A为3阶矩阵，12,为A的分别属于特征值1,1特征向量，向量3满足323A，（1）证明123,,线性无关；（2）令123,,P，求1PAP.