2008年高考数学创新试题赏析

12008年高考数学创新试题赏析江西省吉水中学周湖平331600纵观2008年全国各地的高考试题，出现了一引些内容立意深，情境设置新、设问方式新或题型结构新的创新试题，它与新课标要求学生“对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和研究，才是解决问题的思路，创造性解决问题”的思想相吻合，体现出高考支持课改并服务于课改的指导思想。突出考查学生的探究能力、创新意识，创新试题构成了高考试题中一道亮丽的风景线。本文将对08年高考全国各地卷中创新试题归纳分析，以供参考。1定义新集合例1定义集合运算:,,ABzzxyxAyB.设1,2A,0,2B,则集合AB的所有元素之和为（）A．0B．2C．3D．6（2008年江西省数学高考试题）分析：由题意得，*{0,2,4}AB，其所有元素和为6，故选D点评：利用集合描述法中的P的性质，直接求出Z的所有可能取值，注意不要遗漏，求解过程中运用了简单的分类讨论思想。新集合在高考中常考常新，如曾经出现的差集、幂集等。2定义新函数例2设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2,［54］=1）,对于给定的nN*,定义(1)(1)(1)(1)xnnnnxCxxxx，x1,,则当x3,32时，函数8xC的值域是（）A.16,283B.16,563C.284,328,56D.16284,,2833（2008年湖南省数学高考试题）分析：依题意，当,23x2时，1x，此时88164,3xcx；2,3x当时，2x，此时8875628,28(1)(1)3xcxxxx。因此，3,32x当时，函数8xc的值域是216284,,2833，故选D点评：本题是即时定义一个新函数，它是把组合数公式与高斯函数（取整函数）二者交汇而成，设计新颖，构思精妙，意味深长，从另一个方面也说明从课本中找原型、从竞赛课题中找启示成为高考命题的方向。解此题的关键是理解符号函数x的意义，把8xC化为比较熟悉的函数从而求出其值域，它考查了学生对信息的接受、理解和运用的能力。3定义新数表例4将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415。。。。。根据以上排列规律，数阵中第n（3n）行的从左向右的第3个数是（2008年江苏省数学高考试题）分析：该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n行有n个数，则第n-1（3n）行的最后一个数为2(1)(11)222nnnn，则第n行的第3个数为23(3)22nnn。点评：数表其实是数列的一种分拆，不同的分拆方式就会产生不同的数表，本题中的数阵是对正整数数列的一种重排，只要找出其排列规律便不难求得答案，本题以三角形数表为载体，考查了学生观察、归纳、猜想的思维能力。源于杨辉三角的数表蕴含着丰富的性质，数表型试题在各地高考试卷中屡见不鲜，如2008年山东高考试卷第19题：将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10……记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1.Sn为数列｛bn｝的前n项和，3且满足＝nNnnSSbb221=（n≥2）.(Ⅰ)证明数列｛nS1｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式；（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当91481a时，求上表中第k(k≥3)行所有项和的和.（解答略）4定义新图形例3体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（A）V1=2V(B)V2=2V（C）V1V2（D）V1V2（2008年重庆市数学高考试题）分析：记大球、小球的体积分别为v大球、小球v，半径分别为R、r，根据图可以得到12rR根据已知条件可得214vvv大球小球v，即214vvv大球小球v33344243323RRR﹥0,所以2v﹥1v，故选D点评：球的组合体，对称和谐，极富美感，要比较其体积大小关系，首先要有较强的空间想象能力，其次要会进行类比推理。通过降维把球看成圆，则问题转化为：面积为S的大圆内有4个小圆，每个小圆经过大圆的圆心且与大圆有且只有一个交点，4个小圆的圆心是以大圆圆心为中心的4个顶点，设1s为小圆相交部分的面积，2s为大圆内、小圆外的部分，比较1s、2s和s的大小关系。而平面上阴影部分面积的求法可通过间接法易得，再进行思维类比获得空间问题解决的方法。5定义新数列例5对于每项均是正整数的数列12nAaaa：，，，，定义变换1T，1T将数列A变换成数列1()TA：12111nnaaa，，，，．对于每项均是非负整数的数列12mBbbb：，，，，定义变换2T，2T将数列B各项从大到小4排列，然后去掉所有为零的项，得到数列2()TB；又定义2221212()2(2)mmSBbbmbbbb．设0A是每项均为正整数的有穷数列，令121(())(012)kkATTAk，，，．（Ⅰ）如果数列0A为5，3，2，写出数列12AA，；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明1(())()STASA；（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A，存在正整数K，当kK≥时，1()()kkSASA．（2008年北京市数学高考试题）分析：（Ⅰ）0532A：，，，10()3421TA：，，，，1210(())4321ATTA：，，，；11()43210TA：，，，，，2211(())4321ATTA：，，，．（Ⅱ）设每项均是正整数的有穷数列A为12naaa，，，，则1()TA为n，11a，21a，，1na，从而112(())2[2(1)3(1)(1)(1)]nSTAnaana222212(1)(1)(1)nnaaa．又2221212()2(2)nnSAaanaaaa，所以1(())()STASA122[23(1)]2()nnnaaa2122()nnaaan2(1)0nnnn，故1(())()STASA．（Ⅲ）设A是每项均为非负整数的数列12naaa，，，．当存在1ijn≤≤，使得ijaa≤时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B，则()()2()jiijSBSAiajaiaja2()()0jiijaa≤．当存在1mn≤，使得120mmnaaa时，若记数列12maaa，，，为C，5则()()SCSA．所以2(())()STASA≤．从而对于任意给定的数列0A，由121(())(012)kkATTAk，，，可知11()(())kkSASTA≤．又由（Ⅱ）可知1(())()kkSTASA，所以1()()kkSASA≤．即对于kN，要么有1()()kkSASA，要么有1()()1kkSASA≤．因为()kSA是大于2的整数，所以经过有限步后，必有12()()()kkkSASASA．即存在正整数K，当kK≥时，1()()kkSASA．点评：数列是高考重点考查的内容，围绕数列问题创设情境，设计出一些新颖的题目是近几年高考的一大亮点，如07年上海卷的“对称数列”、07年湖北卷的“等方比数列”、06年北京卷的“绝对差数列”、04的北京卷的“等和数列”等，各种新数列精彩纷呈，此类试题形式新颖、内容深远、能力要求广泛、解法多样，能够较好地考查考生的学习能力、逻辑思维能力、应用能力和创新能力等等，因此备受高考命题者的青睐。6定义新运算例6为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为012iaaaa，{01}，（012i，，），传输信息为00121haaah，其中001102haahha，，运算规则为：000，011，101，110，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010B．01100C．10111D．00011（2008年陕西省数学高考试题）分析：代入验证，当传输信息是10111时对应的原来信息是011，由题目里的约定计算0011h，而102110hha，这时传输信息应是10110，与10111矛盾，故选C。点评：本题所定义运算规则实质是计算机语言中的二进制运算，引导学生关注生活、注重应用意识，通晓计算机已成为现代公民的基本素养。对于新运算应紧扣新运算法则，通过推导判断，从而获得正确的结论。定义一种新的运算，运用新的运算法则来展开计算，考查学生即学即用的能力，体现了高考命题指导思想提出的“由知识立意向能力立意过渡“的要6求。7定义新概念例7设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈R，都有a+b、a-b，ab、ab∈P（除数b≠0），则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集2,FababQ也是数域.有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集QM，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是（把你认为正确的命题的序号填填上）（2008年福建省数学高考试题）分析：对于整数集Z，a=1,b=2时，12bZa,故①错；对于满足QM的集合2MQ，12M不是数域，②错；若P是数域，则存在0aPa且，依定义，2a,3a,4a,,均是P中元素，故P中有无数元素，③正确；类似数集2,FababQ也是数域，④正确，故选③，④点评：此题是以高等数学中“群、环、域”的知识考查高中数学中有关知识的问题，体现了高考数学与中学数学的和谐接轨，以高考数学知识为背景的问题，对已有的知识改造、重组创造“新知识”的问题，也成为高考试题的一大亮点。定义一个新概念，要求学生面对陌生情境，迅速提取有用信息，要善于挖掘概念的内涵与本质，并合理迁移运用已学的知识加以解决。这类问题较好地考查学生的转化能力、知识迁移能力以及学生探究性学习的潜能。]