2008年高考数学试题(江苏卷)分析

12008年高考数学试题(江苏卷)分析江苏无锡江南大学理学院谢广喜文章来源：2008年下半年度《试题与研究》一、总体评价今年是江苏省在新课程标准要求下的第一年高考，与前几年相比,数学科试卷从内容到形式都有很大的变化，从形式上来看，取消了选择题，只有填空题(第1—14题)和解答题（第15—20题、第21-23题）两种题型，文理科的考生用附加题（文科只做第1—20题，理科做第1—23题，其中第21—23为附加题，并记入总分）的形式加以区分，而附加题的选做题（第21题又分A，B，C，D四题选做二题）又充分考虑到不同考生的具体个性差异，为个性差异的张扬提供了舞台；从内容上来看，充分体现新课程标准的具体要求，一些传统的经典考试内容如：较复杂的三角恒等变换、求一个函数的反函数、直线与圆锥曲线的关系等已被淡化乃至完全不做考查要求；试卷强化了算法、合情推理(类比)、概率等内容的考查力度，考试说明中的C级要求内容全部考到：基本不等式、一元二次不等式、直线方程、圆的方程、两角和与差的三角函数公式、等差（等比）数列的概念及灵活运用、向量的数量积等知识。试卷的整卷难度合理（填充题以考查基础知识为主，相对简单，但决并不容易，几乎没有一道是“送分题”，象第12题还是有一定难度的；解答题中除了第20题讨论较为麻烦之外，第15—19题都还不算太难，附加题部分基本上以中档题为主，得分相对容易），试题未发现科学性错误，基本上达到了预定的平稳过渡的目标。二、试题的主要特点分析1、命题的热点、难点仍然围绕着几个基本模块的交汇点（数列、函数、导数、不等式等）来做文章命题重点仍然在数列、函数、导数、不等式等主干知识的交汇点来展开。目前,高考试卷中的数列试题的命制主要有两大方向:一大类是标准模式,它以一些已有很成熟解题思路的数列问题为切入点,如常见数列通项的求法(叠加法、叠乘法、将差等比数列转化为等比数列问题等等),或以)(nnSfa(或)(nnagS等形式给出的递推关系)呈现的,这些问题一般经过适当的变形转化之后往往可转化为我们所熟悉的等差、等比数列问题去求解；另一大类则可以称作是探究模式,这类试题强调尝试与探索意识的考查,往往情境新颖独特又无既定的解题程式可参照，解题时主要采用探索法，依据条件结合等差、等比数列的概念，边尝试边探索，边探索边实践，逐步推进，在实践中不断修正探索的方向。近几年来的江苏卷数列的解答题（2008年第19题、2007年（理）第20题、2006年（理）第20题等）、北京卷的压卷解答题都是采用这种命题模式（2008年第20题、2007年第19题等）；函数与导数的综合题是另一个命题热点，常见的函数背景是幂函数与自然对数函数的线性组合（其中往往含参变数），要求考生研究相应问题的单调性、极值（值域）等等，本卷只以一道填充题（第14题）考查了有关的基本思想；数列与不等式的综合是另一个命题热点，由于本卷未涉及，从略。2、较好地处理了各种学习模块在课程评价中的关系新的课程标准需要新的评价体系的配合才能更有生命力,这份带有新课改试验性质的高考数学试卷无疑为我们题供了一个十分有益的尝试，比如取消选择题，文理科的差异通过数学附加题的形式来体现等等。当然,这里很多问题还是可以再研究讨论的,如完全地取消选择题是否是一种最佳的选择方案呢?（我们从后面附的部分试题的另解中将看到,即使是填空题,也并非没有一点空隙可钻，当然,这些技巧对解题者的素质要求也较高,一般同学最好还是按部就班地求解为好）。如何处理好选修内容与必修内容的关系等等?(本卷新增内容：复数、算法、古典概型和几何概型等，总记的分值占25分，这个比例是否恰当最好还是要通过进一步的调查研究)，但有一点大家是达2成共识的：选择题太多不利于展示考生的真实水平。即使不完全地取消选择题，也必须控制在一定的题量(比如5～7题)之内,难度不宜太大,应以中档题为主,另外,设置少量的多重选择题(如今年台湾省的数学试卷)也是可以探索的思路。第19题的解题要害与2008年复旦大学自主招生考试的一道数学题:证明2是无理数(选修2-1P83的例题)完全相同(任意一个有理数都可以写为两个整数比的形式,分母不为零)。3、注重学生的合情推理能力（主要是类比推理能力）的考查合情推理思想是由美国数学家波利亚首先提出的，合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比和联想是合情推理的常用的思维方法。其思想方法的核心是“科学地猜测”。本卷在第23题中重点考查了合情推理能力，该题以类比为手段，以对条件函数的求导或积分作为思路的切入点，体现了用高等数学的思想方法解决中学数学问题的居高临下的命题理念。4、注重数学思想方法的考查随着知识更新的速度越来越快,我们今天学到的知识,也许明天就派不上用场,而相对于具体知识,思想方法则是长期起作用的因素,数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括(《数学科考试大纲》)，是将知识转化能力的桥梁。而要培养数学能力，就必须重视数学思想和方法的教与学，所以高考数学试卷一直注重数学思想方法的考查,具体主要有：数形结合思想方法，分类讨论思想方法，化归与转化（等价转化与非等价转化）思想方法，函数与方程思想方法等等。4.1数形结合思想方法数与形是数学中两个最基本的概念，数形结合思想方法就是把问题的数量关系与空间图形有机结合起来，在解题时能相互转化以达到方便解题的目的。这种思想方法几乎是每年必考的。必须指出：必要的知识贮存是实现数形结合思想方法的基础，且化数为形往往不能完全反映试题的题意（可能需要补充考虑特殊情况），本卷第12、13、15、17题等主要用到数形结合思想方法。4.2分类讨论思想方法分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，学习和掌握分类讨论思想方法，有利于培养学生更全面、更有逻辑地分析和解决问题。一般来说，绝大多数需要利用分类讨论思想方法求解的数学问题都含有参数，由于参数所在范围的不同导致相应的数学模型的变化，从而必须在各种不同的具体情境下求解问题，这就导致了分类讨论，本卷第20题主要用到分类讨论思想方法。4.3化归与转化（等价转化与非等价转化）思想方法化归与转化思想，就是将待解决或尚未解决，通过转化或再转化，归结为一个已经解决的问题，或者归结为一个已为人们所熟知的具有既定方法或程序的问题（如转化为求一元二次方程的根、函数的极值等等），最终求得问题解决的思想方法。掌握一些典型问题（模式）的解法是实现化归转化的基础,而“模式识别”是迅速实现化归思想方法的关键，化归思想方法主要表现为等价转化与非等价转化两大类，就经验上来说,化归与转化的一般程序为:平面几何问题三角化、三角问题代数化、代数问题往往又要借助与图形辅助来处理。本卷第11、14、15、20、21（C，D）题等着重考查化归与转化思想。4.4函数与方程思想方法所谓函数与方程思想,就是将一个问题转化为函数或方程以便利用有关的数学规律(函数的性质：奇偶性、周期性、单调性等；方程（尤其是一元二次方程）根与系数的关系，实根的判别式等等)来求解的一种思想方法,具体地说，经常把函数)(xfy视为方程0)(),(xfyyxg来解决；也会把含参量的方程0),(xah转变为)(xfa来讨论等等（这里也有分离参数法的思想）。方程思想的运用在三角问题求解中比较突出（包括三角恒等变换、化简求值或解三角形等），3本卷第17、18、22题主要考查函数与方程思想。三、反思与展望1、对明年高考数学科备考工作的启示对教材中的典型问题（含典型例题和习题）务必要研习熟练，因为他们经常是一些试卷中的中档题、容易题的生长点(如今年江苏卷第9题、第13题可分别视为高中数学必修2教材之P95的例3及P103的第10题简单改编而来)；教师首先要深入研究近几年来的高考数学试题（尤其是本省的）的命题热点、重难点，总结典型的解题方法、解题技巧，精选相关的试题后再布置给学生练习，这样才容易提高学生的作业兴趣（这也算是在做题时考虑了学生的情感、态度和价值观吧）。【注】下面的一些重要知识点2008年江苏数学卷未涉及，值得注意：两集合的包含关系及并、补运算；二分法求方程的近似解；分式不等式的解法；函数的奇偶性、周期性；特殊的空间多面体的外接球问题；几何体的三视图、直观图；命题之间的相互关系、充分必要条件；含有一个量词的命题的否定；茎叶图及其含义；点到直线距离公式的灵活应用；有关函数与导数的极值、单调性等的综合题；经典的数列综合题（如差等比数列等）；典型的三角函数表达式xCxxBxAy22sincossincos的最值（值域）、单调性等。一些典型的解题方法如：求数列通项的叠加法、叠乘法；；选修内容中的直线的参数方程、圆的参数方程；不等式证明的放缩法、数学归纳法、Cauchy不等式及其应用等等。2、对今后命题工作的思考由于分省命题试卷较多，且每年高考后的所有试题都是公开的，并成为下一届考生重点训练的对象，所以教育部考试中心及各省命题专家组的专家在今后命题工作中必须十分小心，尽量避免陈题（尤其是前一年在其它试卷中出现过的试题）的出现或只对已有试题简单照抄照搬(如2008年北京卷理第6题与2007年江西卷理第14题几乎完全相同)；同时,同一省份不宜连续几年考查同样特色的试题(如近几年江苏卷总有一道关于数列的解答题，且解题方向、破题关键都非常类似)，尤其是试卷的压轴大题更应谨慎。否则，不但考试结果的公平性值得怀疑，而且还会给以“题海战”为主要形式的应试教育推波助澜，也不利于素质教育的健康发展。附:部分试题另解(第9题)在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点分别为)0,(),0,(),,0(cCbBaA，点P（0，p）在线段AO上（异于端点），设pcba,,,均为非零实数，直线CPBP,分别交ABAC,于点FE,，一同学已正确算的OE的方程：01111yapxcb，请你求OF的方程：()011yapx。【另解】考虑0cb且P（0，p）点为垂心的特殊情形,容易发现此时OF的斜率与OE的斜率是互为相反数,故填空处应填bc11。(第13题)若,2,2BCACAB则ABCS的最大值。【另解】参考答案用的是解三角形的思路，下面用平面解析几何的方法求解，以AB为x轴，4AB中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则)0,1(A，)0,1(B，令)0(),,(yyxC，由,2BCAC得)0(,)1(2)1(2222yyxyx，化简得)0(,)22()3(222yyx，画出C点轨迹，容易看出，当C点的纵坐标绝对值最大（即22y）时，对应ABCS的最大值为22|22|221。【点评】以上解法中强调)0(),,(yyxC，是因为0y时，CBA,,三点共线，不构成三角形。同时，笔者以为此法似乎更为直观，且简单易行。（第14题）13)(3xaxxf对于]1,1[x总有0)(xf成立，则a。【另解】由题意有013)1(af，即4a；又01238)21(af,即又有4a,于是4a。【点评】值得注意,上述解法要求考生具有一定的观察能力,且不具有一般性,故属于特殊方法和技巧的范畴,仅供教师参考,建议不要将其介绍给学生，这道题的一般解题思路是利用参数分离法，再分别考虑问题的单调性方可。(第21－D不等式选讲)设cba,,为正实数,求证：32111333abccba。【另证】注意到正实数cba,,在表达式中的对称性,可知不等式取等号时,应有cba,为了将分母中的字母约去,应将abc这一项分成三项,即labcnabcmabcabc,其中0,,lnm,表面上看,将有无数中拆分的可能,而考虑到不等式取等号条件,只有31lnm这一种方式（平均拆分）,于是利用均值不等式,有32)3(1633311111163333333333abccbaabcabcabccb