2008级《高等数学(上)》A卷及答案

第1页共10页扬州大学2008级高等数学Ⅰ（1）统考试卷A班级学号姓名得分一、选择题（每小题３分，共30分）1．设函数1(1)0()0xxxfxax在点0x处连续，则a【】(A)1(B)1(C)e(D)1e2．若当0x时，tanxx与nax是等价无穷小，则a【】（A）3（B）13（C）3（D）133．若0()2fx，则000()()limhfxhfxhh【】(A)0(B)1(C)4(D)44．函数43()4fxxx在闭区间[1,2]上的最小值为【】（A）5（B）0（C）16（D）275．设32()1fxxxx，则在区间11[,]33上【】（A）函数()fx单调减少且其图形是凹的（B）函数()fx单调减少且其图形是凸的（C）函数()fx单调增加且其图形是凹的（D）函数()fx单调增加且其图形是凸的6．若函数()fx的一个原函数为x，则()fx【】（A）12x(B)314x（C）323x（D）5415x题号1～1011～1617～1920～2122～2324～25扣分扣分第2页共10页7．设()fx是以T为周期的连续函数，k为正整数，则(1)()dakTakTfxx【】（A）仅与k及T有关（B）仅与k及a有关（C）仅与a及T有关（D）仅与T有关8．设210()00xexfxxx,则(0)f【】（A）(B)2（C）1（D）09．若抛物线2yax与曲线lnyx相切，则常数a【】(A)12e(B)2e(C)1e(D)e10．微分方程76sinyyyx的特解y应具有形式【】(A)sincosAxBx(B)sinAx(C)cosAx(D)()sin()cosAxBxCxDx二、填空题（每小题3分，共18分）11．设0xyxyee，则0ddxyx．12．1321(1)1dxxx．13．曲线2yx与yx围成的平面图形的面积为．14．曲线xxy12的所有渐近线的方程为.15．若10[()()]d1xfxfxex，且(0)4f，则(1)f.16．若xyxe是某二阶常系数齐次线性微分方程的一个特解，则该微分方程为．扣分第3页共10页三、计算题（每小题6分，共42分）17．求20220tandlimsinxxttxx．18．求2dxex.19．求10lndxxx．扣分扣分扣分第4页共10页20．求内接于半径为R的球的正圆锥体的最大体积．21．求由曲线yx与直线yx所围平面图形分别绕x轴、y轴旋转一周所形成的旋转体的体积．扣分扣分第5页共10页22．求微分方程cosxyyx满足初始条件1xy的特解．23．求微分方程265xyyye的通解．扣分扣分第6页共10页四、证明题（每小题5分，共10分）24．设()fx在[0,1]上可微，对于[0,1]上的每一个,0()1xfx，且()1fx，试证在(0,1)内有且仅有一个，使()f．25．证明：42(4)(4)00d2dxxxxexex．扣分扣分第7页共10页2008级高等数学试题A参考答案一、1.D2.D3.C4.C5.B6.B7.D8.C9.A10.A二、11．112．213.1314．0,1xy15.5e16.20yyy三、17．解20220tandlimsinxxttxx2040tandlimxxttx………………………………………………2分2232002tantanlimlim42xxxxxxx………………………………4分2201lim22xxx.……………………………………………6分18．解2dxexxt22dtett……………………………………………………2分222ddtttteteet………………………………………4分2212ttteeC………………………………………………5分2212xtxxeeC.………………………………………6分19．解10lndxxx1201lnd()2xx…………………………………………………1分1120011lnd22xxxx………………………………3分1220011limln24xxxx……………………………5分14.……………………………………………………6分第8页共10页20．解设圆锥底半径为r，高为h，则2222()2rRhRRhh．．．．．．．．1分于是，圆锥体积2223111(2)(2)333VrhRhhhRhh．．．．．．．．．．．．3分求导得，2()(43)3VhRhh．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分令()0Vh，得43hR．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分故34max33281hRVVR．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分21．解（1）222d[()]d()dxVxxxxxx，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分120()dxVxxx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分(2)322d2()d2()dyVxxxxxxx，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分312202()dyVxxx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分215．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分第9页共10页22．解原方程可改写为1cosxyyxx．这是一阶线性方程，1()Pxx，cos()xQxx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分原方程的通解为()d()d()dPxxPxxyeQxexC..．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分11ddcosdxxxxxeexCx1(sin)xCx.．．．．．．．．．．．5分由1xy得，C．故所求特解为1(sin)yxx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分23．解特征方程为260rr，解之得12r，23r，．．．．．．．．．．．．．．．1分故相应的齐次方程的通解为2312xxYCeCe．．．．．．．．．．．．．．．．2分自由项2()5xfxe属于()xmPxe型（0m，2）．由于2是特征方程的单根，故可设原方程的一个特解为2xyAxe，．．．．．．．．4分求导得：2(2)xyAAxe，2(44)xyAAxe．将,,yyy代入原方程得，1A．于是，2xyxe．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分因此，原方程的通解为23212xxxyCeCexe．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分第10页共10页四、24．证令()()Fxfxx，[0,1]x．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分则由(0)(1)0FF和零点定理知()Fx在(0,1)内至少有一个零点．．．．．．．．．．．．．3分又由()0Fx知()Fx在[0,1]上单调，()Fx在(0,1)内最多只有一个零点．综上所述，()Fx在(0,1)内有且仅有一个零点，即(0,1)内有且仅有一个，使()f．．．．．．．．．．．．．．．．5分25．证242(4)(2)(2)02ddxtxxttexet．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分2(2)(2)02dttet．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分20(4)22(1)dtuuueu2(4)02duuue．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分2(4)02dxxex．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分