2008高考上海数学理科试题含答案(全word版)

2008年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）一填空（4’×11）1.不等式|x－1|＜1的解集是2.若集合A＝{x|x≤2}、B＝{x|x≥a}满足A∩B＝{2}，则实数a＝3.若复数z满足z＝i(2-z)（i是虚数单位），则z＝4.若函数f(x)的反函数为f－1(x)＝x2（x＞0），则f(4)＝5.若向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为3，则|a+b|＝6.函数f(x)＝3sinx+sin(2+x)的最大值是7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0,+∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)＞0的x的取值范围是9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是11.方程x2+2x－1＝0的解可视为函数y＝x+2的图像与函数y＝1x的图像交点的横坐标，若x4+ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk(k≤4)所对应的点(xi,4xi)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是二选择（4’×4）12.组合数Crn（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（）A．r+1n+1Cr-1n-1B．(n+1)(r+1)Cr-1n-1C．nrCr-1n-1D．nrCr-1n-113.给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（）条件A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要14.若数列{an}是首项为1，公比为a－32的无穷等比数列，且{an}各项的和为a，则a的值是（）A．1B．2C．12D．5415.如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P(x,y)、P’(x’,y’)满足x≤x’且y≥y’，则称P优于P’，如果中的点Q满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（）A．AB︵B．BC︵C．CD︵D．DA︵16.(12’)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC1的中点，求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数表示）xyO·BAC··D·AEB1D1DC1A1BC17.(13’)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）18.(5’+10’)已知函数f(x)＝sin2x，g(x)＝cos(2x+6)，直线x＝t（t∈R）与函数f(x)、g(x)的图像分别交于M、N两点⑴当t＝4时，求|MN|的值⑵求|MN|在t∈[0,2]时的最大值20.(3’+5’+8’)设P(a,b)（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点(1,b)的直线，记Q是直线l与抛物线x2＝2py（p≠0）的异于原点的交点⑴已知a＝1，b＝2，p＝2，求点Q的坐标⑵已知点P(a,b)（ab≠0）在椭圆x24+y2＝1上，p＝12ab，求证：点Q落在双曲线4x2－4y2＝1上⑶已知动点P(a,b)满足ab≠0，p＝12ab，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由AODBC19.(8’+8’)已知函数f(x)＝2x－12|x|⑴若f(x)＝2，求x的值⑵若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围21.(3’+7’+8’)已知以a1为首项的数列{an}满足：an＋1＝an+c，an3and，an≥3⑴当a1＝1，c＝1，d＝3时，求数列{an}的通项公式⑵当0＜a1＜1，c＝1，d＝3时，试用a1表示数列{an}的前100项的和S100⑶当0＜a1＜1m（m是正整数），c＝1m，d≥3m时，求证：数列a2－1m，a3m+2－1m，a6m+2－1m，a9m+2－1m成等比数列当且仅当d＝3m2008年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷参考答案（理工农医类）一、（第1题至第11题）1.(0,2)2.2.3.1i.4.2.5.7.6.2.7.34.8.(1,0)(1,).9.10.5,10.5ab.10.1122cotcot2hha11.(,6)(6,).二、（第12题至第15题）12.D13.C14.B15.D三、（第16题到第21题）16.[解]过E作EFBC，交BC于F，连接CO.EF平面ABCD，EDF是直线DE与平面ABCD所成的角.……4分由题意，得1112EFCC.112CFCB5DF.……8分EFDF，5tan5EFEDFDF.……10分故直线DE与平面ABCD所成角的大小是5arctan5.……12分17[解法一]设该扇形的半径为r米，连接CO.……2分由题意，得500CD(米)，300DA（米），60CDO……4分在△CDO中，2222cos60CDODCDODOC……6分即，2221500(300)2500(300)2rrr……9分解得490044511r（米）答：该扇形的半径OA的长约为445米.……13分[解法二]连接AC，作OHAC，交AC于H，……2分由题意，得500CD（米），300AD（米），120CDA……4分在△CDO中，2222cos120ACCDADCDADAEB1D1DC1A1BCAODBCAODBCH222150030025003007002.700AC（米）.……6分22211cos214ACADCDCADACAD.在直角△HAO中，350AH（米），11cos14HAO，……9分4900445cos11AHOAHAO（米）.答：该扇形的半径OA的长约为445米.……13分18.[解]（1）设11(,)Pxy是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是20xy和20xy.……2分点11(,)Pxy到两条渐近线的距离分别是11|2|5xy和11|2|5xy，……4分它们的乘积是11|2|5xy221111|2||4|4555xyxy.点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数.……6分（2）设的坐标为(,)xy，则222||(3)PAxy……8分22(3)14xx25124()455x……11分||2x，……13分当125x时，2||PA的最小值为45，即||PA的最小值为255.……15分19．解（1）当0x时，()0fx；当0x时，1()22xxfx由条件可知1222xx，即222210xx解得212x20log(12)xx∵∴（2）当[1,2]t时，22112(2)(2)022tttttm即24(21)(21)ttm，2210t∵，2(21)tm∴[1,2]t∵，2(21)[17,5]t∴故m的取值范围是[5,)20．解（1）当1,2,2abp时，解方程组242xyyx得816xy即点Q的坐标为(8,16)（2）【证明】由方程组21xyabybx得1xabya即点Q的坐标为1(,)baaP∵时椭圆上的点，即2214ab2222144()4()(1)1bbaaa∴，因此点Q落在双曲线22441xy上（3）设Q所在的抛物线方程为22(),0yqxcq将1(,)bQaa代入方程，得2212()bqcaa，即2222bqaqca当0qc时，22bqa，此时点P的轨迹落在抛物线上；当12qc时，22211()24abcc，此时点P的轨迹落在圆上；当102qcqc且时，2221()21142abcqcc，此时点P的轨迹落在椭圆上；当0qc时2221()211()42abcqcc，此时点P的轨迹落在双曲线上；21．解（1）由题意得1,322,31,()3,3nnkankkZnk(2)当101a时，211aa，312aa，413aa，1513aa，1623aa，1733aa，,1313113kkaa，133123kkaa，1313133kkaa10012345669899100()()()Saaaaaaaaaa∴1111131(36)(6)(6)(6)33aaaaa113111(31)63333aa13111(11)19823a（3）当3dm时，211aam311131311333mmmaaaaamm∵，13213maamm∴；11661133333mmaaaammm∵，162219maamm∴；1199122133399mmaaaammm∵，1923127maamm∴211aam∴，13213maamm，162219maamm，1923127maamm∴综上所述，当3dm时，数列21am，321mam，621mam，921mam是公比为13m的等比数列当31dm时，132310,maadm，1623133,3,maadm1633310,,madadm192333113,3,mamdadmm……15分由于3210mam，6210mam，9210mam故数列23262921111,,,,mmmaaaammmm不是等比数列所以，数列23262921111,,,,mmmaaaammmm成等比数列当且仅当3dm……18分