2008高考考前数学专题讲座

2008高考考前数学专题讲座高考中选择题的解题策略主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙一、复习策略高考数学试题中，选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，体现以考查“三基”为重点的导向，能否在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大.解答选择题的基本要求是四个字——准确、迅速.正如《考试大纲》中明确指出的，应“多一点想的，少一点算的”，该算不算，巧判关.因而，在解答时应该突出一个＂选＂字，尽量减少书写解题过程，在对照选择支的同时，多方考虑间接解法，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择巧法，以便快速智取.具体概括如下：选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面.一般说来，能定性判断的，就不必使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法解的，就不必采用直接法解；对于明显可以否定的选择支应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等。解题时仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法；但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答.因此，我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法.基本策略是：①熟练掌握各种基本题型的一般解法;②结合高考数学单项选择题的结构(由“四选一”的指令、题干和选择项所构成)和不要求书写解题过程的特点，灵活运用特例法、筛选法、图解法等选择题的常用解法与技巧;③挖掘题目“个性”，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择.二、典例剖析(一)直接法：直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则等知识，通过推理运算，得出结论，再对照选择项，从中选正确答案的方法叫直接法.例1、设f(x)是(－∞，＋∞)是的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于（）A．0.5B．－0.5C．1.5D．－1.5解：由f(x＋2)＝－f(x)得f(7.5)＝－f(5.5)＝f(3.5)＝－f(1.5)＝f(－0.5)，由f(x)是奇函数得f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，所以选B.也可由f(x＋2)＝－f(x)，得到周期T＝4，所以f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.例2、已知函数y=f(x)存在反函数y=g(x)，若f(3)=－1，则函数y=g(x－1)的图像在下列各点中必经过（）A．(－2，3)B．(0，3)C．(2，－1)D．(4，－1)解：由题意函数y=f(x)图像过点(3，－1)，它的反函数y=g(x)的图像经过点(－1，3)，由此可得函数y=g(x－1)的图像经过点(0，3)，故选B.例3、若sin2xcos2x，则x的取值范围是（）A．{x|2k－＜x＜2k＋，kZ}B．{x|2k＋＜x＜2k＋，kZ}C．{x|k－＜x＜k＋，kZ}D．{x|k＋＜x＜k＋，kZ}解：（直接法）由sin2xcos2x得cos2x－sin2x＜0，即cos2x＜0，所以：＋2kπ＜2x＜＋2kπ，选D.另解：数形结合法：由已知得|sinx||cosx|，画出y=|sinx|和y=|cosx|的图象，从图象中可知选D.例4、设椭圆的每个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰三角形，则椭圆的离心率为（）解析：故选D.例5、如图是函数f(x)=x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则等于（）A.B.C.D.解析：由图象可得f(x)=x(x＋1)(x－2)=x3－x2－2x，又∵x1、x2是f′(x)=3x2－2x－2=0的两根，∴x1＋x2=，x1x2=－，故x=(x1＋x2)2－2x1x2=（）2＋2×=，故选C.直接法是解答选择题最常用的基本方法，低档选择题可用此法迅速求解.直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案.提高直接法解选择题的能力，准确地把握中档题目的“个性”，用简便方法巧解选择题，是建在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错.（二）特例法：用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.①特殊值:例6、一等差数列前n项和为48，前2n项和为60，则它的前3n项和为（）A．－24B．84C．72D．36解：本题结论中不含n，正确性与n无关，可对n取特殊值，如n=1，此时a1=48，a2=S2－S1=12，a3=a1＋2d=－24，所以前3n项和为36，选D.②特殊函数:例7、如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是（）A．增函数且最小值为－5B．增函数且最大值为－5C．减函数且最小值为－5D．减函数且最大值为－5解：构造特殊函数f(x)=x，显然满足题设条件，并易知f(x)在区间[－7，－3]上是增函数，且最大值为f(－3)=－5，故选B.③特殊数列:例8、如果等比数列{an}的首项是正数，公比大于1，那么数列{}（）A．是递增的等比数列B．是递减的等比数列C．是递增的等差数列D．是递减的等差数列解：取an=3n，易知选D.④特殊位置:例9、过的重心任作一直线分别交、于点、，若，，，则的值等于（）A．4B．3C．2D．1解：取平行于边BC的直线即可得，故选B.例10、已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射解等于反射角），设P4坐标为（的取值范围是（）A．B．C．D．解：考虑由P0射到BC的中点上，这样依次反射最终回到P0，此时容易求出tan=，由题设条件知，1＜x4＜2，则tan≠，排除A、B、D，故选C.⑤特殊点:例11、函数f(x)=＋2（x≥0）的反函数f－1(x)图像是（）解:在f(x)=＋2（x≥0）中可令x=0，得y=2；令x=4，得y=4，则特殊点(2，0)及(4，4)都在反函数f－1(x)图像上，观察得A、C，又由反函数f－1(x)的定义域知选C.例12、给定四条曲线：①，②，③，④，其中与直线仅有一个交点的曲线是（）A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④解：本题可以利用直接法求解，但求解过程较繁，分析选择支可知，四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求，故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选，而在四条曲线中①为圆，②③④为椭圆，而②是一个面积最大的椭圆，故先看②，显然直线和曲线是相交的，因为直线上的点在椭圆内，故问题可解，选D即可。⑥特殊方程例13、双曲线b2x2－a2y2=a2b2(ab0)的渐近线夹角为α，离心率为e，则cos等于（）A．eB．e2C．D．解:可用特殊方程来解.取方程为－=1，易得离心率e=，cos=，故选C.⑦特殊模型:例14、若实数x，y满足(x－2)2＋y2=3，则最大值是（）A．B．C．D．解：题中=.联想数学模型:两点直线的斜率公式k=，将问题看成圆(x－2)2＋y2=3上点与原点O连线斜率最大值，得D.当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值(取得愈简单愈好)进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略.近几年高考选择题中可用或结合特例法解答的约占30％左右.（三）筛选法（也叫排除法、淘汰法）使用筛选法的前提是“答案唯一”.目前高考数学及平时的练习，选择题中的正确答案都是唯一的.使用筛选法的具体做法是：充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，采用简捷有效的手段(如取特殊值，找特殊点，选特殊位置等)，通过分析、推理、计算、判断，对各选择支进行筛选，排除假支，选出真支。例15、若x为三角形中的最小内角，则函数y=sinx＋cosx值域是()A.(1，]B.(0，]C.[，]D.(，]解:因x为三角形中的最小内角，故x∈(0，)，由此可得y=sinx＋cosx1，排除错误支B，C，D，应选A.例16、解：，，.筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围中找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中约占40％.（四）代入法：将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确的判断.即将各选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案.例17、函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴的方程是（）A．x＝－B．x＝－C．x＝D．x＝解：(代入法)把选择支逐次代入，当x＝－时，y＝－1，可见x＝－是对称轴，又因为统一前提规定“只有一项是符合要求的”，故选A.另解：(直接法)∵函数y＝sin(2x＋)的图象的对称轴方程为2x＋＝kπ＋，即x＝－π，当k＝1时，x＝－，选A.例18、计算机常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0—9和字母A—F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制-0-1-2-3-4-5-6-7-8-9-A-B-C-D-E-F十进制-0-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15例如：用十六进制表示E＋D=1B，则A×B=（）A．6EB．72C．5FD．BO解：采用代入检验法，A×B用十进制数表示为1×11=110，而6E用十进制数表示为6×16＋14=11072用十进制数表示为7×16＋2=1145F用十进制数表示为5×16＋15=105B0用十进制数表示为11×16＋0=176，故选A.代入法适应于题设复杂，结论简单的选择题.若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度.（五）数形结合法：根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确判断的方法叫图解法或数形结合法.例19、在内，使成立的的取值范围是（）A．B．C．D．解：（数形结合法）在同一直角坐标系中分别作出y＝sinx与y＝cosx的图象，便可观察选C.另解：（直接法）由得sin（x－）＞0，即2kπ＜x－＜2kπ＋π，取k＝0即知选C.例20、设函数，若，则的取值范围是（）A．（－1，1）B．（－1，）C．（，－2）（0，）D．（，－1）（1，）解：（数形结合法）在同一直角坐标系中，作出函数的图象和直线，它们相交于（－1，1）和（1，1）两点，由，得或.数形结合法在解有关选择题时非常简便有效.不过运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择.如：例21、函数y=|x2—1|＋1的图象与函数y=2x的图象交点的个数为（）A．1B．2C．3D．4本题如果图象画得不准确，很容易误选（B）；答案为（C）。数形结合，借助几何图形的直观性，迅速作正确的判断是高考考查的重点之一；历年高考选择题直接与图形有关或可以用数形结合思想求解的题目约占50％左右.（六）极限法:从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变.应用极限思想解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，降低解题难度，优化解题过程.例22、在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（）A．（π，π）B．（π，π）C．（0，）D．（π，π）解：当正n棱锥的顶点无限趋近于底面正多边形中心时，则底面正多边形便为极限状态，此时棱锥相邻两侧面所成二面角α→π，且小于π；当棱锥高无限大时，正n棱柱便又是另一极限状态，此时α→π，且大于π，故选（A）.用极限法是解选择题的一种有效方法.它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于缩小选择面，迅速找到答案。（七）估