2009_2010《高数A1_》A卷参考答案1

2009-2010学年第一学期《高等数学(A)(1)》课程试卷（A）参考答案及评分标准第1页共3页中国计量学院2009~2010学年第一学期《高等数学(A)（1）》课程考试试卷（A）参考答案及评分标准开课二级学院：理学院，学生班级：09级工科各班（二本），教师：丁春梅等一、单项选择题（每小题3分,共15分)1—5ADADB二、填空题（每小题3分，共15分)1、6e2、x=03、201()31xxfxxìïï¢=íïïî4、)(af5、21033x-三、计算题(每小题6分，共48分)1．解：122002limsin(12)=0+lim+xxxxxxxx（12）轾犏++犏臌4分2=e6分2．解：22201coslimsinxxxx®骣÷ç÷-ç÷ç÷ç桫=22240sincoslimxxxxx®-=2302cos(sincossin)lim4xxxxxxxx®-+4分2330sincossin=lim+22xxxxxxxx®骣-÷ç÷ç÷ç÷ç桫32300sin112=limlim62623xxxxxxx+=+=6分Or22201coslimsinxxxx®骣÷ç÷-ç÷ç÷ç桫=22240sincoslimxxxxx®-=30(sincos)(sincos)limxxxxxxxxx®+-×=30sincos2limxxxxx®-4分=20sin2lim3xxxx®=236分3．设函数yyx()由参数方程tbyattaxsec)0()tan(确定，求dydx解：2sectan(1sec)dydybttdtdxdxatdt==-4分2009-2010学年第一学期《高等数学(A)(1)》课程试卷（A）参考答案及评分标准第2页共3页sec=csctanbtbtata=--6分4.设方程21yexy=-确定y为x的函数，求dydx解：方程两边对x求导，得22ydydyeyxydxdx?--4分于是22ydyydxxye-=+6分5．解：令1tx，则2dxtdt，2122(1)111xtdxtdtttdttx4分3222(1)(11)33ttCxxC6分6．解：231lnln3xxdxxdx3311ln33xxxdxx4分321ln33xxxdx33ln39xxxC31ln33xxC.6分7．计算定积分220min{,}xxdx．解：21222001min{,}xxdxxdxxdx4分12320111131132326xx6分8．440.yyy求微分方程的通解解：特征方程是2440rr,2分即220r,故122rr4分因此方程的通解是212xyCCxe.6分四、应用题（每小题6分，共12分）1.设0()xtfxtedt-=ò,讨论（1）()fx的单调性；（2）()fx的凸凹性与拐点。解：(1)由()0xfxxe-¢==,得驻点0x=.当(,0)x??时，()0fx¢.故函数在(,0)-?上单调减少。当(0,)x??时，()0fx¢.故函数在(0+)¥，上单调增加。2分2009-2010学年第一学期《高等数学(A)(1)》课程试卷（A）参考答案及评分标准第3页共3页（2）由()1-0xfxxe-ⅱ==（）,得1x=，当1x时，()0fxⅱ，故函数()fx为凹函数；当1x时，()0fxⅱ，故函数()fx为凸函数；于是点(1)f（1，）为拐点4分且11100(1)()12ttftedttdee---==-=-蝌，即拐点为1-e-（1，12）6分2.设平面图形由曲线3xy和40xy所围成，求此图形绕y轴旋转而成的立体的体积。解：解得两曲线的交点为(1,3)A和(3,1)B，则所求体积为23213(4)yVydyyp轾骣犏÷ç=--?ç犏÷ç÷ç桫犏臌ò4分8=3p6分五、证明题（每小题5分，共10分）1、设)(xf是可导的奇函数，证明：存在一点(,)aa，使得()()fafa证明：令()()()faFxfxxa2分则()()()()()()0()faFafaafafaFaa依题设，()Fx在[,]aa上满足罗尔定理的条件，存在一点(,)aa，使()0Fx¢=即()()fafa5分2.设函数)(xf在[0,1]上连续且单调减少，证明对任给常数(0,1)aÎ，有100()()fxdxfxdxaa蝌证明：令xta=，则11000()()().fxdxftdtfxdxaaaaa==蝌?2分因01,01xa＃，故xxa；又)(xf单调减少，故()()fxfxa。由定积分的比较性质得11000()()()fxdxfxdxfxdxaaaa=蝌?5分