2009《应用数学基础》考试题

《应用数学基础》考试题（2010.1.11）学院姓名学号一、填空题（103分=30分；直接将答案写在答题纸上，注意写清楚题号）1.若zz，则)Re(z；2.ii；3.1||220104zizz；4.Res]0,sin[42zz；5.函数),(),()(yxivyxuzf在iyxz可导，则)(zf；6.dzzzz2||3)1(sin；7.13ziz在0z展成泰勒级数的收敛域为；8.zew将直线1x映射成；9.傅氏变换)()]([FtfF，则)]([atfF；其中a为非零常数；10.拉氏变换][3tL，且其收敛域为。二、计算题（106分=60分；要求写出主要计算步骤）1.求cba,,的值，使)2()(2222yxycxibyaxyxzf在复平面上处处解析；2.求dzzzzz2||)1(12，沿正向；3.把2)1(zz展成z的幂级数，并指出收敛域；4.将)1(2zzez在1||0z展成洛朗级数（写出前四项）；5.求dzzzzz1||32cos，沿正向；6.求dzzzizz2||10)3)(1()(1，沿正向；7.用留数计算dxxxx024sin；8.求共形映射，将0)Im(z映成1||w，且满足0)(arg,0)(iwiw；9.用傅氏变换，求解tttyty,0)(2)()(（注：0,2]1[||21aeaaFt）；10.用留数方法，求拉氏变换)1(1)(2sssF的逆变换。三、证明题（25分=10分；任选其中两题）1.利用复数的几何意义证明：三角形内角和等于；2.试证：zezzImsinIm；3.设函数)(zf在1z上解析，且1)(zf，试证：1)0(f，进一步证明，这个结论是最优的；4.设0z是函数)(zp的k级零点，且是)(zq的1k级零点（0k是整数），令)()()(zqzpzf，试证：Res)()()1(),(0)1(0)(0zqzpkzzfkk。