1南京信息工程大学高等数学II试卷B卷参考答案课程名称:高等数学II考试学期09-10-2适用专业:考试形式:闭卷考试时间长度120分钟共4页题号一二三四五六七八总分得分一、填空题(每题3分,共15分)1.曲面1232222zyx在点(1,2,1)处的切平面方程为832zyx。2.设函数z)xy(u,则)1,2,1(dudzdydx2ln22。3.设x2yx:D22,f为连续函数,则二重积分Ddyxf)(22化为在极坐标下的二次积分为cos20222)(dfd。4.设C是由x轴,y轴与直线x+y=1围成的区域的正向边界,则Cxdyydx41。5.)2ln()(xxf的麦克劳林级数为112)1(2lnnnnnxn,收敛区间为]2,2(。二、选择题(每题3分,共15分)1.已知)y,x(zz是由0zezyx所确定的隐函数,则xz=C。(A)ze(B)ze1(C)ze11(D)ze32.常微分方程x2siney5y2yx的特解形式为B。(A))2sin2cos(*xbxaxeyx(B))2sin2cos(*xbxaxeyx(C)xaxeyx2cos*(D)xbxeyx2sin*3.已知幂级数0nnnxa在x=2处条件收敛,则幂级数0nnnnx4a的收敛半径为A。(A)8(B)1(C)0(D)24.设13,02()1,12xfxxx,且1()sinnnSsxbnx是()fx的傅里叶级数,则7()2S=D。(A)27(B)0(C)413(D)35.设力22fijk作用在一质点上,该质点从点1(1,1,1)M沿直线移动到点2(2,2,2)M,则此力所作的功为A。(A)3(B)0(C)1(D)6三、计算题(5个小题,每题6分,共30分)1.求平面221xyz含在椭圆柱面22149xy内的面积。解:令为平面221xyz被椭圆柱面22149xy所截的部分,D为在xoy坐标面上的投影,则923)'()'(122DDyxdxdydxdyzzdSA。2.计算曲线积分224Lxdyydxxy,其中L为从(2,1)A沿抛物线2112yx到(2,1)B。解:添加直线段路径1,:1yBAL和椭圆路径14:222yxL(取顺时针方向),设21,,LLL围成的平面区域为D由于22222)4(4yxxyyP,22222)4(4yxxyxQ,由格林公式有原积分4arctan211444002222222221dxdxyxydxxdyyxydxxdydxdyLLD。3.设)v,u(f二阶偏导数连续,)2,sin(yxyefzx,求yxz2。解:,sin21ffyexzx22211211122cos]2cos[sincosffyeffyeyefyeyxzxxxx。34.设D为由曲线2yx;yx2围成的平面区域,计算二重积分Dxdxdy。解:原式=151081033663]22)2([12422122dyyyxdxdyyy。5.设为圆锥面)1z0(,yxz22,计算第一类曲面积分dS)1x(。解:原式2)1cos(22010dd。四.(8分)设为)2z0(yx2z22上侧,计算曲面积分zdxdydydzx2。解:添加曲面)4(0:221yxz取下侧,得空间区域)4(20:2222yxyxz及其在xoy坐标面的投影区域4:22yxD,由高斯公式有原式Ddxdydxdydzxzdxdydydzxzdxdydydzx0)12(112238)1cos2(202020dzdd。五.(8分)求函数222zyxu在条件9xyz2下的极值。解:令拉格朗日函数为)9(2222xyzzyxF由902202022xyzzzxyyx,得驻点0,3zyx,极值为18。六.(8分)将定义在),0(上的函数1)(xf展开成傅里叶正弦级数。解:将所给函数奇延拓,即在]0,(上补充定义:)0,(,1)(xf,0)0(f得一个奇函数,然后以2为周期进行周期延拓,计算该周期函数的傅里叶系数,并将该周期函数的傅里叶级数限制在)0,(上可得函数1)(xf的傅里叶正弦级数展开。nnxdxann])1(1[2sin20,4xxxxnxnnn0)5sin513sin31(sin4sin])1(1[211。七.(8分)判别级数1nnnn2n!n)1(的敛散性,若收敛指出是绝对收敛还是条件收敛。解:12||||lim1eaannn,级数是绝对收敛的。八.(8分)设)(xf为连续函数,且满足dttftxexfxx)()()(0,求)(xf。解:由于dttftxexfxx)()()(0为积分方程,对其两端关于x求导得,dttfexfxxxdttfexfxxxx00,(1)再求一次导数,从而,xfexfx.由积分方程和(1)可得,1)0(,10ff.因此,原方程和初值问题1)0(,1)0()()(ffxfexfx等价,解得通解为xexcxcxf21cossin)(21.从而,满足初始条件的解为xexxxfsincos21)(。