2009年上海中考数学压轴题精选精析

2009年上海中考数学压轴题精选精析（2009年上海）25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知9023ABCABBCADBCP°，，，∥，为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足PQADPCAB（如图8所示）．（1）当2AD，且点Q与点B重合时（如图9所示），求线段PC的长；（2）在图8中，联结AP．当32AD，且点Q在线段AB上时，设点BQ、之间的距离为x，APQPBCSyS△△，其中APQS△表示APQ△的面积，PBCS△表示PBC△的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当ADAB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图10所示），求QPC的大小．（2009年上海25题解析）解：（1）AD=2，且Q点与B点重合，根据题意，∠PBC=∠PDA，因为∠A=90。PQ/PC=AD/AB=1,所以：△PQC为等腰直角三角形，BC=3，所以：PC=3/2,（2）如图：添加辅助线，根据题意，两个三角形的面积可以分别表示成S1，S2，高分别是H，h，则：S1=（2-x）H/2=（2*3/2）/2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2S2=3*h/2因为两S1/S2=y，消去H,h,得：Y=-(1/4)*x+(1/2),定义域：当点P运动到与D点重合时，X的取值就是最大值，当PC垂直BD时，这时X=0，连接DC,作QD垂直DC，由已知条件得：B、Q、D、C四点共圆，则由圆周角定理可以推知：三角形QDC相似于三角形ABDQD/DC=AD/AB=3/4，令QD=3t,DC=4t,则：QC=5t，由勾股定理得：直角三角形AQD中：(3/2)^2+(2-x)^2=(3t)^2直角三角形QBC中：3^2+x^2=(5t)^2整理得：64x^2-400x+301=0(8x-7)(8x-43)=0得x1=7/8x2=(43/8)2(舍去)所以函数:Y=-(1/4)*x+1/2的定义域为[0，7/8]ADPCBQ图8DAPCB（Q））图9图10CADPBQ2(3)因为：PQ/PC=AD/AB,假设PQ不垂直PC，则可以作一条直线PQ′垂直于PC，与AB交于Q′点，则：B，Q′，P，C四点共圆，由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：PQ′/PC=AD/AB,又由于PQ/PC=AD/AB所以，点Q′与点Q重合，所以角∠QPC=90。ADPCBQ图8DAPCB（Q））图9图10CADPBQ