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第三章函数及其性质2009年上海考试手册规定的考试内容：1、函数的有关概念。要求：对所学数学只是有理性的认识，能用自己的语言进行叙述，并能据此进行判断；知道它们的由来及其与其他知识点之间的联系；知道它们的用途。对所学技能会进行独立的尝试性操作。2、函数的运算。要求：对所学数学知识有实质性的认识并能与已有的数学只是建立联系，掌握其内容与其形式的变化；有关技能已经形成，能用它们来解决简单的有关问题。3、函数关系式的建立。要求：能在新的情境中综合的、灵活的、创造性地运用所学知识和技能来解决有关问题。4、函数的基本性质。要求：对所学数学知识有实质性的认识并能与已有的数学只是建立联系，掌握其内容与其形式的变化；有关技能已经形成，能用它们来解决简单的有关问题。一、知识点归纳：第一个点：什么是函数？在某个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与它对应，那么y就叫做x的函数，记作y=f（x），Dx，x叫做自变量，x的取值范围D叫做函数的定义域；和x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.小提示：1、函数的三要素：定义域、值域、对应法则。2、理解关键字“任意”：在定义域中，对于一个确定的x，这个x是定义域内的任意一个值。3、对应法则的理解：对应法则是某一种运算规律。etc:（1）、2xy的对应法则为取平方。（2）、12xy的对应法则为乘2加1。4、理解关键字“唯一”：通过运算，只能得到一个确定的值。从对应的观点来看，有两种对应可以成为函数：一对一和多对一。图示：Xyxy一对一多对一但是有一种情况不是函数：图示：Xy一对多第二个点：反函数的定义。对于函数y=f（x），设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，使y=f（x），这样得到的x关于y的函数叫做y=f（x）的反函数，记作)(1yfx，习惯上，自变量常用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为.),(1Axxfy小提示：对于反函数来讲，我们对反函数和函数的定义加以区分，函数的定义是任取一个x，都有唯一的一个y与其对应，体现出的对应形式是一对一和多对一，但是对于反函数只有一对一才有反函数，而多对一不存在反函数，如果唯一的一个x对应唯一的y，这样能判断是否存在反函数。另外，反函数还存在一个重要的性质：函数)(xfy的图象和它的反函数)(1xfy的图象是以直线y=x为对称轴的轴对称图形。xyo1111xy3xy3xy图示：说明：函数33xyxy与为互为反函数。第三个点：两个函数的和与积。已知两个函数,),(,),(21DxxgyDxxfy21),()(DDxxgxfy和函数。21),()(DDxxgxfy积函数。第四个点：奇函数与偶函数。1、奇函数：如果对于函数f（x）的定义域D内的任意实数a，都有f（-a）=-f（a），那么，称函数f（x）为奇函数。2、偶函数：如果对于函数f（x）的定义域D内任意实数a，都有f（-a）=f（a），那么称f（x）为偶函数。小提示：1、我们可以发现奇函数和偶函数的区分在于比较自变量a与-a的函数值关系，奇函数为相反值，偶函数为相等的关系。2、函数定义域D关于原点对称是这个函数为奇函数（偶函数）的必要条件。etc:关于原点对称：)1,1(x、]1,1[x。不关于原点对称的：]1,1(x。4、图像：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。2xyyxoxyo3xyxyo1x)(xfy2x)(1xf)(2xfxyo1x)(xfy2x)(1xf)(2xf偶函数奇函数第五个点：研究函数的单调性（增函数和减函数）。对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的自变量的任意两个值21xx、,（1）、当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说函数f（x）在这个区间上是增函数。（2）、当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说函数f（x）在这个区间上是减函数。（3）、如果函数f（x）在这个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f（x）在这一区间是单调函数，这个区间叫做函数f（x）的单调区间。小提示：1、单调函数所具有的增或减是个符号特点，具备一般性，例如要验证增函数，不能验证在区间内的两个特殊值，只能验证在区间上的两个符号21xx和,如果当21xx都有)()(21xfxf，这是增函数。如果当21xx都有)()(21xfxf，这是减函数。增函数（21xx）减函数（21xx）2、我们发现，两个函数的值大小是广义的概念而不是特殊的，如何选取21xx和有大小的时候来比较)()(21xfxf和的大小，我们就要善于使用不等式的性质（做差比较法和做商比较法）。图示：判断函数)(xf在指定区间A上的单调性的过程图示:设元：设Axx21,，且21xx。使符号21,xx在区间A内，并规定大小。做差：)()(21xfxf。做差比较大小（同时我们也可以做商比较大小）。变形：使)()(21xfxf比较大小。如果使做差比较大小：0)()(21xfxf=00如果是做商比较大小：1)()(21xfxf=11定论：增函数还是减函数。定论的依据：（1）、当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说函数f（x）在这个区间上是增函数。（2）、当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说函数f（x）在这个区间上是减函数。xyoxyo第六个点：周期函数。对于函数))((Dxxf，如果存在一个非零实数T，使得x取D内的每一个值时，都有等式f（x+T）=f（x），那么这个函数f（x）叫做周期函数，常数T叫做函数f（x）的周期。小提示：1、只有非零实数T，才能得到的等式为f（x+T）=f（x）。2、对于一个周期函数f（x）来说，如果在所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做这个函数的最小正周期。（周期函数会在三角函数中详解）etc:相关周期函数的图像。xysinxycos随堂讲解练习指导：1、求下列函数的定义域：;.)12(log)3(;221)2(;2143)1(2xyyxxxyax2、求下列函数的值域：.1)4(;2323)3(;221)2(;2)1(22xxyxxyxxxyxxy3、已知f（x）和g（x）分别是一个奇函数和一个偶函数，且,)21()()(xxgxf试比较f（1）、g（0）、g（-2）的大小。、4、已知函数)(11112xfxfxxxxf）是（），（）（）（的反函数，记3)(1)(1xxfxg，求g（x）的最小值。5、判断下列函数的奇偶性：).1(11)1()()3(;221)()2();1lg()()1(22xxxxxfxxxfxxxf6、已知函数xxxxf11log1)(2,求函数f(x)的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性.7、若函数2)(bxaxf在),0[上为增函数，求实数a、b的取值范围。8、已知函数0()(2xxaxxf，常数)aR．（1）讨论函数)(xf的奇偶性，并说明理由；（2）若函数)(xf在[2)x，上为增函数，求a的取值范围．9、若22()cosfxxaxa的图象与X轴有且只有一个交点，则实数a的值等于__________10、对于函数()yfx，在使()fxM成立的所有常数M中，我们把M的最大值maxM叫做函数()yfx的下确界，设有函数22101xxyxxx试问：该函数是否有下确界，若有，求出M的值，若没有，就填写没有。___111、设()2xxaafx，()(01)2xxaagxaa且①判断并证明()()fxgx与的奇偶性；①分别计算(2)(3)(3)(2)(5)fgfgg与的值，并判断它们之间的关系，由此推出一个一般的关系式并给出证明；②由②所得的一般结论，判断是否与已经学过的什么公式类似？若是，试写出一个。对照学过的公式，关于()()fxgx与还能得到什么与②不同的关系式？若存在，请你写出其中的一个。12、设y=f（x）为R上的奇函数，且对于Rx都有f（x+2）=-f（x）.(1)证明:f(x)为周期函数;(2)证明:x=1为对称轴;(3)若当11x时,xxfsin)(,写出51x时,f(x)的解析式;(4)对于(3)中的f(x),若()Axfxa非空,求实数a的取值范围.