2009年中考数学佳题赏析研究(4)桂林第26题(改编2)

初中数学研究网·初中对话数学初中数学研究网·2009年中考数学佳题赏析研究（4）桂林中考数学第26题改编题（2）推荐星级☆☆☆☆如图③，已知直线3:34lyx，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点．(1)若点P在x轴的上方,⊙P经过点B,且与x轴相切,设点P的坐标为(x,y)，求y与x的函数关系式；(2)是否存在这样的⊙P，既与x轴相切又与直线l相切于点B?若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．〖搜索词·构造直角三角形·直线与圆相切·用列方程的方法建立函数关系式·点的存在性探究·位置讨论〗提示：(1)如图乙,设在第一象限内存在满足条件的点P,F为切点,连接PB,PF.过点P作PD⊥y轴于D，则PD=x,DO=PF=y,BD=BO-DO=|3-y|=3-y.∵222BPPDBD,PB=PF=y,∴222)3(yxy.∴y与x的函数关系为23612xy.易知:若点P在第二象限,y与x的函数关系仍然为23612xy.〖评析〗(1)解题的关键是:构造直角三角形BPD,用勾股定理列出关于y与x的方程,把方程变形,就得到y关于x的函数关系式;(2)不要忘记探究点P在第二象限时,y与x的函数关系;(3)若在图乙中画出23612xy的草图,可以帮助你直观地了解点P运动的全过程.(2)满足条件的⊙P有两个,如图丙,其中一个圆心在第一象限.设⊙P与x轴相切于点G.OyxA图③BOyxA图乙B·FPD初中数学研究网·初中对话数学=AG..∵22225ABOAOB,∴AG=AB=5.∵OA=4,∴OG=1.则G(1,0).同理可求,若点P在第二象限,则G(-9,0).由(1)得点P的坐标(x,y)满足21362yx,把x=1或x=-9分别代入21362yx，得35y,或y=15.∴点P的坐标为（1,35）或（-9，15）.〖评析〗(1)研究空间与图形时,要养成良好的习惯:首先考虑图形的位置,然后再研究图形的形状和大小;(2)第(2)小题可以使用第(1)小题的结论(21362yx).OyxA图丙BGP