2009年全国各地中考试题压轴题精选讲座八

-1-2009年全国各地中考试题压轴题精选讲座八探究、操作性问题(浙江省宁波滨海学校数学组方德懿)【知识纵横】探索研究是通过对题意的理解，解题过程由简单到难，在承上启下的作用下，引导学生思考新的问题，大胆进行分析、推理和归纳，即从特殊到一般去探究，以特殊去探求一般从而获得结论，有时还要用已学的知识加以论证探求所得结论。操作性问题是让学生按题目要求进行操作，考察学生的动手能力、想象能力和概括能力。【典型例题】【例1】（陕西省）问题探究（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB＝90°的一个点P，并说明理由．（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB＝60°的所有的点P，并说明理由．问题解决（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB＝4，BC＝3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP′D钢板，且∠APB＝∠CP′D＝60°．请你在图③中画出符合要求的点P和P′，并求出△APB的面积（结果保留根号）．-2-【例2】（浙江省宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（－8，0），直线BC经过点B（－8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q．（1）四边形OABC的形状是_______________，当α＝90°时，BQBP的值是____________；（2）①如图2，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时，求BQBP的值；②如图3，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时，求ΔOPB′的面积．（3）在四边形OABC旋转过程中，当0＜α≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP＝21BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．-3-【例3】（浙江省丽水市）已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒．（1）填空：菱形ABCD的边长是________、面积是________、高BE的长是________；（2）探究下列问题：①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位，当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中，任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t＝4秒时的情形，并求出k的值．-4-【例4】（辽宁省大连市试测（一））如图1，平移抛物线F1：y=x2后得到抛物线F2．已知抛物线F2经过抛物线F1的顶点M和点A（2，0），且对称轴与抛物线F1交于点B，设抛物线F2的顶点为N．（1）探究四边形ABMN的形状及面积（直接写出结论）；（2）若将已知条件中的“抛物线F1：y=x2”改为“抛物线F1：y=ax2”（如图2），“点A（2，0）”改为“点A（m，0）”，其它条件不变，探究四边形ABMN的形状及其面积，并说明理由；（3）若将已知条件中的“抛物线F1：y＝x2”改为“抛物线F1：y＝ax2＋c”（如图3），“点A（2，0）”改为“点A（m，c）”其它条件不变，求直线AB与y轴的交点C的坐标（直接写出结论）．-5-【学力训练】1、（辽宁省大连市）如图1，点A是△ABC和△ADE的公共顶点，∠BAC＋∠DAE＝180°，AB＝k·AE，AC＝k·AD，点M是DE的中点，直线AM交直线BC于点N．（1）探究∠ANB与∠BAE的关系，并加以证明．说明：如果你经过反复探索没有解决问题，可以从下面①、②中选取一个作为已知条件，再完成你的证明，选取①比选原题少得2分，选取②比选原题少得5分．①如图2，k＝1；②如图3，AB＝AC．（2）若△ADE绕点A旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中（1）的结论是否发生变化？如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并直接写出变化后∠ANB与∠BAE的关系．-6-2、（湖南省娄底市）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE＝90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE＝4，∠DEF＝∠CBA，AH:AC＝2:3．（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积；（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH′（如图2）．探究1：在运动过程中，四边形CDH′H能否为正方形？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由；探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠部分的面积为y，求y与t的函数关系式．-7-3、（辽宁省十二市、丹东市）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－x＋3（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x＝－2．（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若点P（0，t）是y轴上的一个动点，请进行如下探究：探究一：如图1，设△PAD的面积为S，令W＝t·S，当0＜t＜4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（参考资料：抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线x＝ab2）-8-4、（广东省茂名市）已知：如图，直线l：y＝31x＋b，经过点M(0，41)，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)，…，Bn(n，yn)（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1(x1，0)，A2(x2，0)，A3(x3，0)，…，An+1(xn+1，0)（n为正整数），设x1＝d（0＜d＜1）．（1）求b的值；（2）求经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式（用含d的代数式表示）（3）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．探究：当d（0＜d＜1）的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d的值．