2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛(2009年5月3日8∶00－10∶00)一、填空题(每小题7分，共70分)．已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝．2．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k＝．3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e＝．4．已知3x＋19x－1＝13－31－x，则实数x＝．5．如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP＝2PC，CQ＝2QD．R为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为．6．设f(x)＝log3x－4－x，则满足f(x)≥0的x的取值范围是．7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水cm3．8．设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则→BC·→AO＝．9．设数列{an}满足：an＋1an＝2an＋1－2(n＝1，2，…)，a2009＝2，则此数列的前2009项的和为．10．设a是整数，0≤b＜1．若a2＝2b(a＋b)，则b＝．二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分)．在直角坐标系xOy中，直线x－2y＋4＝0与椭圆x29＋y24＝1交于A，B两点，F是椭圆的左焦点．求以O，F，A，B为顶点的四边形的面积．12．如图，设D、E是△ABC的边AB上的两点，已知∠ACD＝∠BCE，AC＝14，AD＝7，AB＝28，CE＝12．求BC．13．若不等式x＋y≤k2x＋y对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围．14．⑴写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；⑵是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．EBCDABCDAPQR2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛(2009年5月3日8∶00－10∶00)一、填空题(每小题7分，共70分)．已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝．填0．解：由于|sinα|≤1，|cosβ|≤1，现sinαcosβ＝1，故sinα＝1，cosβ＝1或sinα＝－1，cosβ＝－1，∴α＝2kπ＋π2，β＝2lπ或α＝2kπ－π2，β＝2lπ＋πα＋β＝2(k＋l)π＋π2(k，l∈Z)．∴cos(α＋β)＝0．2．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k＝．填11．解：设公差为d，则得55＝－5×11＋12×11×10d55d＝110d＝2．ak＝55－4×10＝15＝－5＋2(k－1)k＝11．3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e＝．填－1＋52．解：由(2b)2＝2c×2aa2－c2＝ace2＋e－1＝0e＝－1＋52．4．已知3x＋19x－1＝13－31－x，则实数x＝．填1．解：即13x－1＝3x3(3x－1)32x－4×3x＋3＝03x＝1(舍去)，3x＝3x＝1．5．如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP＝2PC，CQ＝2QD．R为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为．填14．解：A、B到平面PQR的距离分别为三棱锥APQR与BPQR的以三角形PQR为底的高．故其比值等于这两个三棱锥的体积比．VAPQR＝12VAPQD＝12×13VAPCD＝12×13×13VABCD＝118VABCD；又，SBPQ＝SBCD－SBDQ－SCPQ＝(1－13－23×13)SBCD＝49SBCD，VRBPQ＝49VRBCD＝12×49VABCD＝418VABCD．∴A、B到平面PQR的距离的比＝1∶4．又，可以求出平面PQR与AB的交点来求此比值：在面BCD内，延长PQ、BD交于点M，则M为面PQR与棱BD的交点．BCDAPQRMNRQPADCB由Menelaus定理知，BMMD·DQQC·CPPB＝1，而DQQC＝12，CPPB＝12，故BMMD＝4．在面ABD内，作射线MR交AB于点N，则N为面PQR与AB的交点．由Menelaus定理知，BMMD·DRRA·ANNB＝1，而BMMD＝4，DRRA＝1，故ANNB＝14．∴A、B到平面PQR的距离的比＝1∶4．6．设f(x)＝log3x－4－x，则满足f(x)≥0的x的取值范围是．填[3，4]．解：定义域(0，4]．在定义域内f(x)单调增，且f(3)＝0．故f(x)≥0的x的取值范围为[3，4]．7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水cm3．填78000．解：设净水器的长、高分别为x，ycm，则xy＝300，V＝30(20＋x)(60＋y)＝30(1200＋60x＋20y＋xy)≥30(1200＋260x×20y＋300)＝30(1500＋1200)＝30×2700．∴至少可以存水78000cm3．8．设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则→BC·→AO＝．填－252．解：设|→AO|＝|→BO|＝|→OC|＝R．则→BC·→AO＝(→BO＋→OC)·→AO＝→BO·→AO＋→OC·→AO＝R2cos(π－2C)＋R2cos2B＝R2(2sin2C－2sin2B)＝12(2RsinB)2－12(2RsinC)2＝12(122－132)＝－252．9．设数列{an}满足：an＋1an＝2an＋1－2(n＝1，2，…)，a2009＝2，则此数列的前2009项的和为．填2008＋2．解：若an＋1≠0，则an＝2－2an＋1，故a2008＝2－2，a2007＝2－22－2＝－2，a2006＝2＋2，a2005＝2．一般的，若an≠0，1，2，则an＝2－2an＋1，则an－1＝an＋1－2an＋1－1，an－2＝22－an＋1，an－3＝an＋1，故an－4＝an．于是，Σk＝12009an＝502(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2009＝502(a2005＋a2006＋a2007＋a2008)＋a2009＝2008＋2．RRBCAOR10．设a是整数，0≤b＜1．若a2＝2b(a＋b)，则b＝．填0，3－12，3－1．解：若a为负整数，则a2＞0，2b(a＋b)＜0，不可能，故a≥0．于是a2＝2b(a＋b)＜2(a＋1)a2－2a－2＜00≤a＜1＋3a＝0，1，2．a＝0时，b＝0；a＝1时，2b2＋2b－1＝0b＝3－12；a＝2时，b2＋2b－2＝0b＝3－1．说明：本题也可以这样说：求实数x，使[x]2＝2{x}x．二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分)．在直角坐标系xOy中，直线x－2y＋4＝0与椭圆x29＋y24＝1交于A，B两点，F是椭圆的左焦点．求以O，F，A，B为顶点的四边形的面积．解：取方程组4x2＋9y2＝36，x＝2y－4．代入得，25y2－64y＋28＝0．此方程的解为y＝2，y＝1425．即得B(0，2)，A(－7225，1425)，又左焦点F1(－5，0)．连OA把四边形AFOB分成两个三角形．得，S＝12×2×7225＋12×5×1425＝125(72＋75)．也可以这样计算面积：直线与x轴交于点C(－4，0)．所求面积＝12×4×2－12×(4－5)×1425＝125(72＋75)．也可以这样计算面积：所求面积＝12(0×2－0×0＋0×1425－(－7225)×2＋(－7225)×0－(－5)×1425＋(－5)×0－0×0)＝12(14425＋14255)＝125(72＋75)．12．如图，设D、E是△ABC的边AB上的两点，已知∠ACD＝∠BCE，AC＝14，AD＝7，AB＝28，CE＝12．求BC．解：ADAC＝ACAB△ACD∽△ABC∠ABC＝∠ACD＝∠BCE．∴CE＝BE＝12．AE＝AB－BE＝16．∴cosA＝AC2＋AE2－CE22AC·AE＝142＋162－1222·14·16＝142＋28·42·14·16＝1116．∴BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA＝142＋282－2·14·28·1116＝72·9BC＝21．13．若不等式x＋y≤k2x＋y对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围．解法一：显然k＞0．(x＋y)2≤k2(2x＋y)(2k2－1)x－2xy＋(k2－1)y≥0对于x，y＞EBCDACFyxOBA0恒成立．令t＝xy＞0，则得f(t)＝(2k2－1)t2－2t＋(k2－1)≥0对一切t＞0恒成立．当2k2－1≤0时，不等式不能恒成立，故2k2－1＞0．此时当t＝12k2－1时，f(t)取得最小值12k2－1－22k2－1＋k2－1＝2k4－3k22k2－1＝k2(2k2－3)2k2－1．当2k2－1＞0且2k2－3≥0，即k≥62时，不等式恒成立，且当x＝4y＞0时等号成立．∴k∈[62，＋∞)．解法二：显然k＞0，故k2≥(x＋y)22x＋y＝x＋2xy＋y2x＋y．令t＝xy＞0，则k2≥t2＋2t＋12t2＋1＝12(1＋4t＋12t2＋1)．令u＝4t＋1＞1，则t＝u－14．只要求s(u)＝8uu2－2u＋9的最大值．s(u)＝8u＋9u－2≤82u·9u－2＝2，于是，12(1＋4t＋12t2＋1)≤12(1＋2)＝32．∴k2≥32，即k≥62时，不等式恒成立(当x＝4y＞0时等号成立)．又：令s(t)＝4t＋12t2＋1，则s(t)＝8t2＋4－4t(4t＋1)(2t2＋1)2＝－8t2－4t＋4(2t2＋1)2，t＞0时有驻点t＝12．且在0＜t＜12时，s(t)＞0，在t＞12时，s(t)＜0，即s(t)在t＝12时取得最大值2，此时有k2≥12(1＋s(12))＝32．解法三：由Cauchy不等式，(x＋y)2≤(12＋1)(2x＋y)．即(x＋y)≤622x＋y对一切正实数x，y成立．当k＜62时，取x＝14，y＝1，有x＋y＝32，而k2x＋y＝k62＜62×62＝32．即不等式不能恒成立．而当k≥62时，由于对一切正实数x，y，都有x＋y≤622x＋y≤k2x＋y，故不等式恒成立．∴k∈[62，＋∞)．14．⑴写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；⑵是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．解：对于任意n∈N*，n2≡0，1(mod4)．设a，b是两个不同的自然数，①若a≡0(mod4)或b≡0(mod4)，或a≡b≡2(mod4)，均有ab≡0(mod4)，此时，ab＋10≡2(mod4)，故ab＋10不是完全平方数；②若a≡b≡1(mod4)，或a≡b≡3(mod4)，则ab≡1(mod4)，此时ab＋10≡3(mod4)，故ab＋10不是完全平方数．由此知，ab＋10是完全平方数的必要不充分条件是a≡/b(mod4)且a与b均不能被4整除．⑴由上可知，满足要求的三个自然数是可以存在的，例如取a＝2，b＝3，c＝13，则2×3＋10＝42，2×13＋10＝62，3×13＋10＝72．即2，3，13是满足题意的一组自然数．⑵由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数．这是因为，任取4个不同自然数，若其中有4的倍数，则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数，如果这4个数都不是4的倍数，