1.4.1任意角的三角正弦函数

在初中我们是如何定义锐角三角函数的？sincostan复习回顾OabMPcOabMPyx1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？新课引入yx1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？﹒baP,﹒Mo如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？﹒PMOPMPsinOPOMcosOMMPtanOMP∽PMOPOPMPOOMMOPMMOyxP(a,b)诱思探究能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？OPMPsinOPOMcosOMMPtanMOYXP(a,b)，则若1rOPbaab以原点为圆心,以单位长度为半径的圆叫做单位圆.2.任意角的三角函数定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(yxP那么:（1）叫做的正弦，记作，即；ysin（2）叫做的余弦，记作，即；cosx（3）叫做的正切，记作，即。xytan所以，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.﹒使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.α的终边a解：（1）如图，以原点为角的顶点，以x轴正半轴为始边，顺时针旋转4π，与单位圆交于点P，4MOP即为所求作的角.（2）由于4pa=-，点P在第四象限，所以点P的坐标为22(,)22-（3）22sin(),cos()4242pp-=--=.例1：在直角坐标系的单位圆中，(1)画出角；(2)求出角的终边与单位圆的交点坐标；(3)求出角的正弦函数值、余弦函数值.a4变式1：如图已知角α的终边与单位圆的交点是，求角α的正弦、余弦和正切值。)23,21(P解：根据任意角的三角函数定义：23sin21cos3tanOxy)23,21(P点评：若已知角α的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用定义求三角函数值。实例剖析例2求的正弦、余弦和正切值.35AOB解：在直角坐标系中，作AOB，易知的终边与单位圆的交点坐标为)23,21(所以，，xyo﹒﹒点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。例3已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值.5)4()3(220OP解:由已知可得设角的终边与单位圆交于，),(yxP分别过点、作轴的垂线、0PMPP00PMx＼400PM于是，;54||1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP∽00POM;531cos00OPOMOPOMxx34cossintanxy4,30P0MOyxMyxP,设角是一个任意角，是终边上的任意一点，点与原点的距离),(yxP022yxrP那么①叫做的正弦，即ry②叫做的余弦，即rx③叫做的正弦，即xy任意角的三角函数值仅与有关，而与点在角的终边上的位置无关.定义推广：点评：已知角终边上异于单位圆上一点的坐标，求三角函数值，可根据三角形相似将问题化归到单位圆上，再由定义得解。巩固提高练习1：已知角α的终边经过点，求角α的正弦、余弦和正切值。)22,22(P2.利用三角函数的定义求的三个三角函数值67于是，练习3.已知角的终边过点，求的三个三角函数值.解：由已知可得：（）（）（）xyosin（）（）（）（）xyotan（）（）（）（）xyocos探究：三角函数定义域值域sincostan1.三角函数的定义域和值域2.三角函数值在各象限的符号例3求证：当且仅当下列不等式组成立时，角为第三象限角.反之也对。①②证明：因为①式成立,所以角的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的非正半轴上；0sin又因为②式成立，所以角的终边可能位于第一或第三象限.0tan因为①②式都成立，所以角的终边只能位于第三象限.于是角为第三象限角.反过来请同学们自己证明.1下列各式为正号的是（）Acos2Bcos2sin2Ctan2cos2Dsin2tan2C2若lg(sintan)有意义，则是（）A第一象限角B第四象限角C第一象限角或第四象限角D第一或第四象限角或x轴的正半轴C3已知的终边过点(3a-9,a+2),且cos0,sin0,则a的取值范围是。-2a3120223213212012-32--132-12-013222120-132-12-32-1203212-1在直角坐标系的单位圆中，画出下列各特殊角，求各个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入下表观察此表格中的数据,你能发现函数y=sinx和y=cosx的变化有什么特点吗？1.内容总结：①任意角三角函数的概念.②三角函数的定义域、值域及三角函数值在各象限的符号.运用了定义法、公式法、数形结合法解题.化归的思想，数形结合的思想.2.方法总结：3.体现的数学思想：归纳总结课本第20页习题1.2A组3、4题.课后作业思考题：求终边落在直线y=x上的三角函数练一练：(1)若角α是第二象限角，且则是第象限角；(2)若θ是第二象限角，则函数值sin(cosθ)·cos(sinθ)是号.如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）其中利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求角的三角函数值.例4确定下列三角函数值的符号：（1）（2）（3）解：（1）因为是第三象限角，所以；2500250cos（2）因为=，而是第一象限角，所以；)672tan(48tan)360248tan(0)672tan(48练习确定下列三角函数值的符号516cos)34sin()817tan(（3）因为是第四象限角，所以.404sin例5求下列三角函数值：（1）（2）解：（1）练习求下列三角函数值（2）1.内容总结：①三角函数的概念.②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.③诱导公式一.运用了定义法、公式法、数形结合法解题.划归的思想，数形结合的思想.2.方法总结：3.体现的数学思想：归纳总结课本第20页习题1.2A组4、5、7题.课后作业