1.4.2正弦函数-余弦函数的性质

§1.4.2正弦余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质：x22322523yO23225311x22322523yO23225311问题提出1.根据正弦函数和余弦函数的图象,你能说出它们具有什么性质吗？y=sinx，x∈Ry=cosx,x∈R(1)正、余弦函数的定义域都是R(2)正、余弦函数的值或都是[-1，1]正弦函数、余弦函数的值是“周而复始”地变化世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律，如：①地球的公转；这种现象在数学上称为周期性，②物理学上的单摆运动；③课程表.(每24小时绕地球转一周，24小时是它的周期)(一次往返所用的时间是它的周期)(一个星期，即7天是它的周期)在函数领域里，周期性是函数的一个重要性质.这一节里我们就先来研究函数的第(3)个性质：知识探究（一）：周期函数的概念思考1：由正弦函数的图象可知,正弦曲线每相隔2π个单位重复出现，具有周期性，这一规律的理论依据是什么？sin(2)sin()xkxkZ.思考2：设f(x)=sinx，则等式sin(2)sinxkx可以怎样表示f(x+T)=f(x)其数学意义如何？为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为这个函数的周期.一般地，如何定义周期函数？1、周期函数的定义——对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.思考3：定义中应注意什么问题？∵对于函数f(x)=sinx，等式f(x+T)=f(x)，注意：(1)定义中等式f(x+T)=f(x)有两个前提条件：①T是不为零的常数；②它是对于定义域中每一个X值都成立.问题(P36练习第1题)：但不能说是其周期，120sin(30120)sin150sin(18030)sin30由sin(30120)sin30是否成立？等式如果这个等式成立，能否说是正弦函数y=sinx，x∈R的一个周期？为什么？120成立仅只是对30x时成立，sin(120)sinxx即而当取定义域其它值时就不x成立了，sin(45120)sin45如：45x时，思考4：f(x)=sinx的周期有哪些？周期函数的周期是否惟一？sin()si2nxx当时，1ksin(2)sin()xkxkZ根据及周期函数的定义T=2π是y=sinx的周期sin()si4nxx当时,2kT=-2π是y=sinx的周期-2sin()sinxx当时,-1kT=4π是y=sinx的周期T=-4π是y=sinx的周期-4sin()sinxx当时,-2k…………………………………………………………(2())fxfx(4())fxfx()()2fxfx()()4fxfxsin()si6nxx当时,3kT=6π是y=sinx的周期()()6fxfxT=-6π是y=sinx的周期-6sin()sinxx当时,-3k(6())fxfx由此可知：y=sinx的周期不止下个，2π，4π，6π……，－2π，－4π，－6π……都是它的周期。2、最小正周期的定义——如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做函数f(x）的最小正周期…………………………………………………………其中T＝2π叫做y=sinx最小正周期分析：题类解法：知识探究（二）：求周期函数的周期例1求下列函数的周期：(没有特别说明，求的就是最小正周期)设f(x)=3cosxf(x+T)=f(x)f(x+T)=3cos(x+T)所以将原函数加上其对应的最小正周期2π后化至目标：f(x+T)=3cos(x+T)形即可3cos(x+T)=3cosx解：(1)设f(x)=3cosx则f(x)=3cosx=3cos(x+)=f(x+2π)∴由周期函数的定义可知，此函数的周期为T=2π对应的最小正周期2πRxxyRxxyRxxy),621sin(2)3(,2sin)2(,cos3)1(()2sin()2sin(2626xxfx则方法一——定义法(适用于求任一个周期函数的周期)的步骤：①用f(x)表示给出的函数，并化简至一个角的一个三角函数的形式；f(x+T)②(在草稿上定目标)明确的具体形式③将该函数的函数名后的角加上其相对的最小正正周期，并化至既定的目标f(x+T)的形式；④说明符合周期函数的定义并回答所问.(Ⅱ)求周期函数的周期解：(2)设f(x)=sin2x则f(x)=sin2x=sin(2x+)=f(x+π)∴由周期函数的定义可知，此函数的周期为T=π对应的最小正周期2π目标：f(x+T)=sin2(x+T)(3)()2sin()26xfx设目标：f(x+T)=12sin()26xT=f(x+4π)∴由周期函数的定义可知，此函数的周期为T=4π2π=sin2(x+π)12sin()246x2221212xycos3xy2sin)621sin(2xy函数周期sin()yAx2TT4T?T2解：sinfxAxsin2Axsin2Ax2sinAx2fx2Tsin(),yAxxR探求:函数的周期公式sin(),cos(),(,,2,0,0):.yAxxRyAxxRAAT一般地，函数及函数其中为常数且的周期为归纳:P36练习1练习2：求下列函数的周期课堂练习：RxxyRxxyRxxyRxxy),431sin()4(,cos21)3(,4cos)2(,43sin)1(24823334T242T221T223613T当堂检测（1）下列函数中，最小正周期是的函数是（）2cos21sinxyBxyA、、xyCcos、xyD2cos、（2）函数xysin的最小正周期为_____。0),3sin(xy3___（3）已知函数的周期为，则D26练习题.求下列函数的周期：32T6T8T2TTxy3sin)1(3cos)2(xy4sin3)3(xy)10sin()4(xyRxxy),32cos()5((1)周期函数、周期及最小正周期的概念.；课堂小结----本节课所学知识方法：(2)正（余）弦函数的周期.(3)函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)（其中A,ω,φ为常数，且A≠0,ω≠0）的周期是:2(0)T(4)求周期的方法：定义法、公式法课外作业：P46习题1.A组第3题1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第二课时§1.4.2正弦余弦函数的性质(2)奇偶性、对称性复习回顾•1.周期函数的意义:•若f(x+T)=f(x)，则f(x)就是周期函数，T就是它的周期。•2.•3.什么是偶函数？偶函数的图像有何特点？•什么是奇函数？奇函数的图像有何特点？sincos()yxyxxR与周期是2最小正周期T=2()-f(x),fx奇函数的图像关于原点对称()f(x)fx，偶函数的图像关于y轴对称正弦函数的图象探究余弦函数的图象问题：它们的图象有何对称性？x22322523yO23225311x22322523yO23225311一.奇偶性(1)()sin,fxxxRxR任意()sin()fxxsinx()fx()sin,fxxxR为奇函数(2)()cos,fxxxRxR任意()cos()fxxcosx()fx()cos,fxxxR为偶函数x22322523yO23225311P'P正弦函数的图象53113,,,,22222x对称轴：(,0),(0,0),(,0),(2,0)对称中心：二、对称性,2xkkZ(,0)kkZ余弦函数的图象,0,,2x对称轴：35(,0),(,0),(,0),(,0)2222对称中心：'PPx22322523yO23225311,xkkZ(,0)2kkZ•例1.求函数的对称轴和对称中心sin(2)3yx23zx解（1）令则sin(2)sin3yxzsinyz的对称轴为,2zkkZ232xk解得：对称轴为,122xkkZ(2)sinyz的对称中心为(,0),kkZ23xk对称中心为62xkzk(,0),Z62kkx22322523yO23225311解（1）令则的对称轴为解得：对称轴为的对称中心为对称中心为练习：求函数的对称轴和对称中心1cos()24yx421xzzcos1cos()24yxzycoskzkx421Zkkx,22zycos)2(zkk),0,2(,2kz2421kxZkkx,22Zkk),0,22(Zkkx,22我练我掌握1.正弦函数（1）对称轴：（2）对称中心：课堂小结：sin,yxxR（3）奇函数2.余弦函数cos,yxxR（1）对称轴：（2）对称中心：（3）偶函数,2xZ(,0),Z,xkkZ(,0)2kkZ作业•求下列函数的对称轴、对称中心：•（1）•（2）sin(2x),4yxR1cos(),26yxxR1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第三课时§1.4.2正弦函数余弦函数的性质（3）单调性、最值x22322523yO23225311复习：正弦函数对称性对称轴：对称中心：,2xkkZ(,0)kkZ复习：余弦函数对称性对称轴：对称中心：x22322523yO23225311,xkkZ(,0)2kkZ1、__________，则f（x）在这个区间上是增函数.)()(21xfxf复习：函数的单调性函数(),yfx若在指定区间任取，12xx、且，都有：21xx函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。观察正余弦函数的图象，探究其单调性2、__________，则f（x）在这个区间上是减函数.)()(21xfxf增函数：上升减函数：下降探究：正弦函数的单调性]2523[]22[]23,25[，、，、当在区间……上时，x曲线逐渐上升，sinα的值由增大到。11753357[,][][][,]22222222…、，、，、…当在区间x上时，曲线逐渐下降，sinα的值由减小到。11x22322523yO23225311归纳：正弦函数的单调性x22322523yO23225311正弦函数在每个闭区间)](22,22[Zkkk都是增函数，其值从－1增大到1；而在每个闭区间3[2,2]()22kkkZ上都是减函数，其值从1减小到－1。探究：余弦函数的单调性[3,2][0][2][3,4]