复变函数4.1-4.2复级数及幂级数

第四章解析函数的级数表示1复数列的极限2复数项级数§4.1复数项级数4.1.1复数列的极限称为复数列,简称(1,2,3,)nnnain为数列,记为.na定义4.1设是数列，是常数.naai如果e0,存在正整数N,使得当nN时,不等式naae成立,则称当n时,收敛于na,a或称是的极限,记作analim,nnaa或.naan复数列收敛与实数列收敛的关系lim,lim.nnnnaabb==定理4.1limnnaa的充分必要条件是该结论说明:判别复数列{an}的敛散性可转化为判别两个实数列的敛散性.limRe()Re(),limIm()Im().nnnnaaaa==4.1.2复数项级数121nnnaaaa¥==++++åLL为复数项级数.称121nnknkSaaaa===+++åL为该级数的前n项部分和.设是复数列,则称nnnai级数收敛与发散的概念定义4.2如果级数121nnnaaaa¥==++++åLL的部分和数列收敛于复数S,则称级数收敛,nS这时称S为级数的和,并记做1lim.nnnnaSS如果不收敛，则称级数发散.nS复数项级数与实数项级数收敛的关系定理4.2级数收敛的充要11()nnnnnai条件是都收敛,并且11,nnnn111.nnnnnnai说明复数项级数的收敛问题两个实数项级数的收敛问题级数收敛的必要条件lim0.nna定理4.3如果级数收敛,则1nna证明由定理4.2及实数项级数收敛的必要条件知lim0,lim0nnnnlim0.nna重要结论:发散.1lim0nnnnaa于是在判别级数的敛散性时,可先考察lim0.nna?定义4.3设是复数项级数,如果正项1nna级数收敛,则称级数绝对收敛.若1nna1nna绝对收敛级数的性质定理4.4若级数绝对收敛,则它收敛,1nna并且成立11.nnnnaa1nna绝对收敛和都绝对收敛.1nn1nn发散，而收敛，则称级数条件收敛.1nna1nna推论解:.)1(111)1(1121发散收敛，发散，nnnninnn绝对收敛。收敛，000!)8(!8!8)2(nnnnnnninni111111322()()()[].nnnnnnninn收敛，收敛，收敛例4.1下列级数是否收敛？是否绝对收敛?10118111232()()()()()()[]!nnnnnniiinnnn11().nnn又条件收敛，原级数条件收敛1幂级数的概念2幂级数的敛散性3幂级数的性质§4.2幂级数为复变函数项级数.010()()()()nnnfzfzfzfz011()()()()nnSzfzfzfz为该级数前n项的部分和.设是定义在区域D上的复变函数列,()nfz称4.2.1幂级数的概念01()()()()nSzfzfzfz称为该级数在区域D上的和函数.如果对级数收敛,即0,zD01()nnfz00lim()(),nnSzSz则称级数在点收敛,且是级数和.0()nnfz0z0()Sz如果级数在D内处处收敛,则称其在0()nnfz区域D内收敛.此时级数的和是函数20010200()()()nnnazzaazzazz20120,nnnnnazaazazaz这类函数项级数称为幂级数.当或时,0()()nnnfzazz()nnnfzaz或的特殊情形00z函数项级数的形式为0(),nnazz定理4.5(Abel定理)若级数在0nnnaz10z处收敛，则当时,级数绝对收敛;0nnnaz1zz若级数在处发散，则当时,级数0nnnaz2z2zz0nnnaz发散.4.2.2幂级数的敛散性收敛圆与收敛半径(1)对所有的正实数都收敛.级数在复平面内绝对收敛.(2)对所有的正实数都发散.级数在复平面内除原点外处处发散.(3)既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收敛的正实数.设时,级数收敛;时,级数发散.如图:zz由,幂级数收敛情况有三种:0nnnaz定理3.6(Abel定理)若级数在0nnncz10z处收敛，则当时,级数绝对收敛;0nnncz1zz若级数在处发散，则当时,级数0nnncz2z2zz0nnncz发散.xyo..R收敛收敛半径幂级数0nnnaz¥=å的收敛范围是以原点为中心的圆域..11.收敛圆周发散发散收敛幂级数00()nnnazz的收敛范围是同理，事实上,幂级数在收敛圆周上敛散性的讨问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?以为中心的圆域.0zz收敛半径根据前面所述的三种情形,分别,0,.R规定为论比较复杂,没有一般的结论,要对具体级数进行具体分析.解：2111(1).1nnnzSzzzzz1z1lim1nnSz级数0nnz收敛,1z0limnnz级数0nnz发散.绝对收敛,且有在内,级数1z0nnz例4.2求级数的和函数与收敛半径.0nnz所以收敛半径1,R01.1nnzz收敛半径的计算方法(一)(3)当时,收敛半径1.Rr=01lim,nnnaa;R(1)当时,收敛半径00;R(2)当时,收敛半径定理4.6(比值法)设级数如果0,nnnaz则收敛半径的计算方法(二)(3)当时,收敛半径1.Rr=0lim,nnna;R(1)当时,收敛半径00;R(2)当时,收敛半径定理4.7(根值法)设级数如果0,nnnaz则由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此可得出下面几个性质.性质4.1(1)设级数和的收敛0nnnaz0nnnbz半径分别为和1R2,R则在内,12min(,)zRRR000(),nnnnnnnnnnabzazbz0110000.nnnnnnnnnnnazbzabababz4.2.3幂级数的性质(2)设级数的收敛半径为r.0()nnnfzaz如果在内,函数解析,并且Rz)(zg,)(rzg则当时,Rz0[()][()].nnnfgzagz说明:上述运算常应用于将函数展开成幂级数.前面关于级数的性质,如果将换成0nnnazz0zz之后,对于级数当然也成立.00()nnnazzbz1例4.3把函数表示成形如0()nnnaza¥=-å的幂级数,其中a与b是不相等的复常数.bz1)()(1abaz11.1zababa代数变形,使其分母中出现)(az凑出)(11zg把函数写成如下的形式:bz1解运行下面的MATLAB语句.symszab;f=1/(z-b);taylor(f,z,4,a)ans=1/(a-b)-1/(a-b)^2*(z-a)+1/(a-b)^3*(z-a)^2-1/(a-b)^4*(z-a)^3211.1nzazazazababababa2231111()()()()zazazbbababa11().()nnzaba当即时,1,zabazaRba所以定理4.8设幂级数收敛半径00()nnnazz为R,并且在内,0zzR00()(),nnnfzazz则是内的解析函数,且在收敛圆()fz0zzR0zzR内,可以逐项求导和逐项积分,即(1)当时,0zzR101();nnnfznazz(2)设C是内的一条分段光滑曲线,0zzR则00()dd.nnCCnfzzazzz特别地,如果C是圆内部的以z0为起点、z为终点的分段光滑曲线,则0010000()dd.1zznnnnzznnafzzazzzzzn