复变函数――定义

复变函数——定义邻域－定义1.1点的邻域指：聚点、内点、孤立点－定义1.2给定点集，及点。称为的聚点或极限点指：的任一邻域内都有的无穷多个点。若，但非的聚点，则称为的孤立点;若，又非的聚点，则称为的外点。若有一邻域全含于内，则称为的内点。若的任一邻域内，同时有属于和不属于的点，则称为的边界点。边界点的全体称为的边界。记作。开集、闭集－定义1.3若点集的每个聚点都属于，则称为闭集；若点集的点皆为内点，则称为开集。有界性－定义1.4点集称为有界集，若使有。区域－定义1.5非空开集称为区域，若是连通的，即：中任意两点可用全在中的折线连接。闭域－定义1.6区域加上它的边界称为闭域，记为：。约当曲线－定义1.7设是实变数的两个实函数，在闭区间上连续，则由方程所决定的点集，称为复平面上的一条连续曲线。上式称为的参数方程分别称为的起点和终点。单连通区域－定义1.8设为复平面上的区域，若在内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于，则称为单连通区域；非单连通区域称为多连通区域。复变函数－定义1.9设为一复数集，若对内每一复数，有唯一确定的复数与之对应，则称在上确定了一个单值函数。若对内每一复数，有几个或无穷多个与之对应，则称在上确定了一个多值函数。复变函数的极限－定义1.10设，为的聚点。若存在一复数，使，，只要，就有则称沿于有极限，并记为。连续函数－定义1.11设子点集上有定义，为的聚点，且。若即对任给的，，只要，，就有则称沿于连续。复球面复平面加上点后称为扩充复平面，与它对应的就是整个球面，称为复球面。无穷远点考虑平面上一个以原点为心的圆周，在球面上对应的也是一个圆周。当圆周的半径越大时，圆周就越趋北极。北极可以看成是与平面上的一个模为无穷大的假想点相对应，这个假想点称为无穷远点，并记为。主要定理约当定理－定理1.1任一简单闭曲线将平面唯一地划分成三个点集且满足（1）彼此不交（2）是一个有界区域（称为的内部）（3）是一个无界区域（称为的外部）（4）若简单折线的两个端点分属，则必与有交点。极限的计算定理－定理1.2设函数于点集上有定义，，则的充要条件是连续函数定理－定理1.3设函数于点集上有定义，，则沿在点连续的充要条件是：二元实变函数，沿于点连续。一致连续定理－定理1.4设函数在有界闭集上连续，则（1）在上有界，即，使。（2）在上有最大值与最小值。（3）在上一致连续。即，使对上满足的任意两点及，均有定义复变函数的导数－定义2.1设函数在点的某邻域内有定义，考虑比值若当（或）时，上面比值的极限存在，则称此极限为函数在点的导数，记为。即。（2.1）此时称在点可导。解析函数－定义2.2如果函数在区域内可微，则称微区域内的解析函数，或称在区域内解析。奇点－定义2.3若在点不解析，但在的任一邻域内总有的解析点，则称为的奇点。复指数函数－定义2.4对于任何复数规定复指数函数为。易知，复指数函数有下列性质：（1）它是实指数函数的自然推广（2）。（3）在平面上处处解析，且。（4）加法定理成立，即。（5）是以为基本周期的周期函数。（6）极限不存在。三角函数－定义2.5称分别为复数的正弦函数和余弦函数。复正弦函数和余弦函数有以下性质：（1）它们是实函数情形的推广（2）均处处解析，且。事实上，同理，可证另一个。（3）是奇函数，是偶函数；且遵从通常的三角恒等式，如（4）均以为周期（5）的零点为的零点为（6）不再是有界函数。正切、余切－定义2.6称分别为的正切、余切、正割与余割函数。这四个函数在其分母不为零的点处解析且双曲函数－定义2.7规定并分别称为的双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割及双曲余割函数。根式函数－定义2.8规定根式函数为幂函数的反函数。对数函数－定义2.9规定对数函数是指数函数的反函数。即若则复数称为复数的对数，记为。主要定理可微的必要条件－定理2.1（可微的必要条件）设是定义在区域上的函数；且在内一点可微，则必有：偏导数在点存在；且满足柯西-黎曼条件，即可微的充要条件－定理2.2（可微的充要条件）设是定义在区域上的函数。则在内一点可微的充要条件是：（1）在点可微；（2）在点满足柯西-黎曼条件。此时，有：（2.7）定义复积分－定义3.1设有向曲线：以为起点，为终点，沿有定义，顺着从到的方向在上取分点：把曲线分成若干个弧段（图3.1*9）。在从到的每一弧段上任意取一点。作成和数其中当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数的极限存在且等于，则称沿（从到）的可积，而称为沿（从到）的积分，并以记号表示称为积分路径。表示沿的正方向的积分，表示沿的负方向的积分。不定积分－定义3.2在区域内，如果连续，则称合条件的函数的一个不定积分或原函数。复围线－定义3.3考虑条围线其中中每一条都在其余各条的外部，而它们又全都在的内部。在的内部同时又在外部的点集构成一个有界的多连通区域，以为它的边界。在这种情况下，我们称区域的边界是一条复围线，它包括取正方向的，以及取负方向的换句话说，假如观察者沿复围线的正方向绕行时，区域的点总在它的左手边（图3.10是的情形）。调和函数－定义3.5如果二元实函数在区域内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程，则称为区域内的调和函数。共轭调和函数－定义3.6在区域内满足条件，的两个调和函数中，称为在区域内的共轭调和函数。主要定理积分估值定理－定理3.2（积分估值）若沿曲线，连续，且有正数使,为之长，则证由不等式，取极限即得证。柯西积分定理－定理3.3设在平面上的单连通区域内解析，为内任一条围线，则要证明这个定理是比较困难的。牛顿－莱布尼兹公式－定理3.8在定理3.6或定理3.7的条件下，如果是在单连通区域内的任意一个原函数，则。复围线的柯西积分定理－定理3.10设是由复围线所围成的有界多连通区域，在内解析，在上连续，则或写成，或写成。柯西积分公式－定理3.11设区域的边界是围线（或复围线），在内解析，在上连续，则有(3.2)这就是柯西积分公式。它是解析函数的积分表达式，因而是今后我们研究解析函数的重要工具。平均值定理－定理3.12如果函数内解析，在闭圆上连续，则即在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均数。证设表圆周，则或由此，根据柯西积分公式。无穷可微性定理－定理3.13在定理3.11的条件下，函数在区域内有各阶导数，并且有(3.5)解析函数的第二判据－定理3.15函数在区域内解析的充分必要条件是（1）在内连续；（2）在内满足条件。刘维尔定理－定理3.16刘维尔定理有界整函数必为常数。摩勒拉定理－定理3.17若函数在单连通区域内连续，且对内的任一围线，有，则在内解析，解析函数的第三判据－定理3.18在区域内解析的充要条件是：（1）在内连续；（2）对任一围线，只要及其内部全含于内，就有。定义复数及级数－定义4.1对于复数项的无穷级数，（4.1）命（部分和）。若复数列以有限复数为极限，即若，则称复数项无穷级数（4.1）收敛于，且称为级数（4.1）的和，写成；若复数列无有限极限，则称级数（4.1）为发散。绝对收敛、条件收敛－定义4.2若级数收敛，则原级数称为绝对收敛；非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛。复函数项级数－定义4.3设复变函数项级数（4.2）的各项均在点集上有定义，且在上存在一个函数，对于上的每一个点，级数（4.2）均收敛于，则称为级数（4.2）的和函数，记为。一致收敛－定义4.4对于级数（4.2），如果在点集上有一个函数，使对任意给定的，存在正整数，当时，对一切的均有，则称级数（4.2）在上一致收敛于。内闭一致收敛－定义4.5设函数定义于区域内，若级数（4.2）在内任一有界闭集上一致收敛，则称此级数在内内闭一致收敛。泰勒级数－定义4.6定理中的级数称为在点的泰勒展式，（4.4）称为其泰勒系数。零点－定义4.7设在解析区域内一点的值为零，则称为解析函数的零点。主要定理复级数收敛的判据－定理4.1设，及为实数，则复数级（4.1）收敛于的充要条件为：实级数及分别收敛于及。柯西收敛准则－定理4.2（柯西收敛准则）复数级（4.1）收敛的充要条件为：对任给，存在正整数，当且为任何正整数时。收敛的充分条件－定理4.3复数级（4.1）收敛的一个充分条件为级数收敛。柯西一致收敛准则－定理4.4（柯西一致收敛准则）级数（4.2）在点集上一致收敛于某函数的充要条件是：任给，存在正整数，使当时，对一切，均有。优级数准则－定理4.5（优级数准则）若存在正数列，使对一切，有，而且正项级数收敛，则复函数项级数在集上绝对收敛且一致收敛。级数连续定理－定理4.6设级数的各项在点集上连续，且一致收敛于，则和函数也在上连续。逐项积分定理－定理4.7设级数的各项在曲线上连续，并且在上一致收敛于，则沿可以逐项积分：内闭一致收敛判据－定理4.8级数（4.2）在圆内闭一致收敛的充要条件为：对任意正数，只要,级数（4.2）在闭圆上一致收敛。维尔斯特拉斯定理－定理4.9设（1）在区域内解析，（2）在内内闭一致收敛于函数：，则（1）在区域内解析。（2）。阿贝尔（Abel)定理－定理4.10如果幂级数（4.3）在某点收敛，则它必在圆（即以为心，圆周通过的圆）内绝对收敛且内闭一致收敛。收敛半径的计算公式－定理4.12如果幂级数的系数合于，（达朗贝尔（D’Alembert）或，（柯西）或，（柯西－阿达玛）则幂级数的收敛半径幂级数和的解析性－定理4.13（1）幂级数的和函数在起收敛圆内解析。（2）在内，幂级数（4.4）可以逐项求导至任意阶，即。(3)泰勒公式－定理4.14（泰勒定理）设在区域内解析，，只要含于,则在内能展成幂级数，其中系数。（4.4）且展式是唯一的。解析函数的第四判据－定理4.15在区域内解析的充要条件为：在内任一点的邻域内可展成的幂级数，即泰勒级数。收敛圆周上的性质－定理4.16如果幂级数的收敛半径,且则在收敛圆周上至少有一奇点，即不可能有这样的函数存在，它在内与恒等，而在上处处解析。m级零点的判据－定理4.17不恒为零的解析函数以为级零点的充要条件为：，其中在点的邻域内解析，且。零点的孤立性－定理4.18如在内的解析函数不恒为零，为其零点，则必有的一个邻域，使得在其中无异于的零点。（简单说来就是：不恒为零的解析函数的零点必是孤立的。）唯一性定理－定理4.20（唯一性定理）设（1）函数和在区域内解析；（2）内有一个收敛于的点列，在其上和等值，则和在内恒等。最大模原理－定理4.23（最大模原理）设在区域内解析，则在内任何点都不能达到最大值，除非在内恒等于常数。定义罗朗级数－定义5.1（5.2）称为在点的罗朗展式，（5.3）称为其罗朗系数，而（5.2）右边的级数则称为罗朗级数。孤立奇点－定义5.2若在奇点的某一去心邻域内解析，则称为的一个孤立奇点。若为的一个孤立奇点，则必存在函数，使在的去心邻域内可展成罗朗级数。可去奇点、极点、本性奇点－定义5.3设是的孤立奇点，（1）若主要部分为0，则称是的可去奇点。（2）若主要部分为有限多项，则称是的极点，此时主要部分的系数必满足，，此处称为极点的级，亦称为级极点。（3）若主要部分有无限多项，则称是的本性奇点。无穷远点的孤立奇点性－定义5.4设函数在无穷远点（去心）邻域内解析，则称为的一个孤立奇点。主要定理双边幂级数的解析性－定理5.1设双边幂级数的收敛圆环为则（1）（5.1）在内绝对收敛且内闭一致收敛于（2）在内解析（3）级数在内可逐项求导任意次。罗朗定理－定理5.2（罗朗定理）在圆环内解析的函数必可展开成双边幂函数(5.2)其中（5.3）且展式唯一。可去奇点判据－定理5.3设为的孤立奇点，则下述等价：（1）在的主要部分为0；（2）（3）在点的某去心邻域内有界。极点判据－定理5.4若以点为孤立奇点，则下述等价（1）是级极点，即主要部分为（2）在点的去心邻域内有且解析且（3）以为级零点。本性奇点判据－定理5.6的孤立奇点为本性奇点的充分必要条件是即不存在。毕卡定理－定理5.8若为的本性奇点，则对任意数（可以是），都有一个收敛于的点列，使定义残数－定义6.1设以为孤立奇点，即在的去心邻域内解析，则称积分为