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441教育数学是数学的教育形态：数学的原始形态：繁复曲折的数学思考。书面发表的数学是数学的学术形态：简洁冰冷的形式化美丽。教师的责任：把数学的学术形态化为教育形态：1高效率地进行火热的思考，2揭示数学本质；3使学生容易接受。442数学教育中的“去数学化”倾向香港科技大学教授项武义认为，大陆的新课程标准有“去数学化”的倾向。“去数学化”，指数学教育只讲“教育学”“心理学”规律，忽视数学实质的揭示。443结实数学本质，才能提高效率教育不等于认识论。数学教学是要在很短的时间里，让学生把握人类几千年来积累的数学知识。掌握数学本质，精中求简，保持核心价值一万年以后怎么办？老是探究，自己发现，还有效率可谈吗？没有效率的教学理论是走不远的！444第一部分关于数学本质的把握与呈现445数学教学成功的标志主要看是否达到教学目标：学生是否理解和掌握了数学（数学的科学性），包括：数学本质的理解；数学知识的掌握；数学能力的形成。教育方式是手段（现在的标准：学生活跃？合作？用计算机？探究？……游离于数学本身）奇谈怪论：结果不是最重要的，重要的在于参与；知识不是最重要的，重要的在于过程。446项目因素优秀良好待提高情意过程教学环境学习兴趣自信心认知过程学习方式思维的发展解决问题与应用意识因材施教尊重个性差异面向全体学生教学方法与手段基本功扎实、有效总评447数学知识的储备：一个比喻一缸水和一杯水一桶水和一杯水一杯水和一杯水没有水可以打井取水教师的作用：鱼，渔数学本质的把握需要数学修养448“数学本质”的内涵：1。数学知识的内在联系；2。数学规律的形成过程；3。数学思想方法的提炼；4。数学理性精神的体验。形成数学的教育形态：“返朴归真”，“平易近人”，“言之有理”，“感悟真情”449数学本质被两种活动所掩盖：1。过度的形式化。“淡化形式，注重实质”。2。教条式的改革。表面热闹、缺乏效率的教学过程。4410例一。乘法交换律：ab=ba某杂志刊登的特优教案这样设计：学生交换位置（没有说人数不变）；兔子和鸭子交换任务：兔子摸螺蛳，鸭子拔青草。（没有谈不变性）用柄很长的勺子喝水，自己喝不到，互相帮助，交换勺子喝水。（只有交换，没有不变的规律）。交换律的数学本质：交换后乘积不变。4411例二。三角形内角和问题姜伯驹院士在政协的提案指出“三角形内角和等于180度这样的基本定理，让学生用剪刀将三个角进行拼接实验。只知其然不知其所以然，如何培养思辨能力？”不鼓励学生问为什么，数学课就失去了灵魂。李大潜院士：“老是量，就倒退到尼罗河时代去了”4412三角形内角和定理的价值没有实际价值，超越日常经验。当初古希腊学者不是“量”出来的。价值在于理性思维，从公理出发的演绎推理。建议：要么作公理，要么进行推理。例如：所有矩形的四个角都是直角直角三角形内角和为180度任意三角形内角和为180度4413例三。正弦定理的教学（一个忽视数学实质的设计）请同桌同学任意画一个三角形，测量它的各角大小和各边的长，并用计算器分别计算c/sinC,b/sinB,a/sinA的值，看看有什么结果？（学生一个人在画和测量，另一个人在记录和计算，进行合作学习）4414学生abc∠A∠B∠Cc/sinCB/cosAA/sinAA/conBB/sinBA4.13.33.757005006004.3309.6494.3636.3784.308B5.33.13.6107.5033039.505.660-10.3015.5576.3205.692c3336006006002.59862.59862.598根据你们的计算结果和三个小组的交流情况，你们有什么看法？4415正弦定理是量出来的吗？分组测量，汇报结果，这是败笔。数学不能靠大家意见相同得到结论。必须证明。正弦定理的证明很简单。靠“高”为媒介，比一下立刻推得。正弦定理的本质在于找到“三角形的边与角的关系”，平面几何“大边对大角”的数量化。三角是几何的定量化，沟通代数和几何的桥梁。4416例四。Freudenthal经典情景：巨人的手（通过“量”掌握数学本质）比例只是“照片放大”、“地图比例尺”？黑板上留下巨人的手印，请你为巨人设计巨人使用的书籍、桌子和椅子的尺寸。活动设计：1。用自己的手和巨人的手相比。2。定下“比值”3。量自己的书、桌子、椅子尺寸4。用比例放大（量得有价值，有意义）4417例五。坐标活动（长宁）将教室的课桌并拢，用两根有箭头的绳子做成坐标轴；坐标对应学生，请学生自己看坐标；两坐标都是非负的站起来；两坐标相等的站起来；换一个同学做坐标原点。这样活动，抓住了“坐标”的数学实质。4418例六：美国德州(Austin)的一个斜率概念教学设计为了联系学生生活实际,提出情景:“早上起床时,你先要从床上起来(rise),然后走到厨房去做早餐(run)”由此联系到斜率的概念:纵距离与横距离之比riseoverrun.评论：教案设计者只利用了rise和run这两个词的表面意思,并没有突出两者必须存在关联,必须研究二者的比例.难道每个rise和run都有斜率的问题(起床和去厨房这个过程的斜率是什么?)4419另一个美国数学教育故事一组教师引入”二次函数”的方法是首先介绍”毕达哥拉斯定理”.Cindy请她们解释为何要用此定理来引入二次函数概念,回答是:“因为那里有平方”.？！数学的本质完全被曲解了。Cindy继续提问,希望他们能意识到问题所在,结果惹得众人很不愉快.事后,那个学区的教师间接告诉Cindy:“请她以后不要再到我们学区来了.我们不欢迎她!”4420例7方程概念外在的逻辑形式：含有未知数的等式叫方程。内在的数学本质：方程是为了寻求未知数，在已知数和未知数之间建立的一种等价关系。“方程”思想的本质在于建立关系为了认识“未知数”先生，必须请已知数“先生为媒介，找到一种关系，根据关系就能认识“未知数”先生了。4421方程思想（三根电线的长度）上海51中学陈振宣提供:他的一个学生在和平饭店做电工。发现地下室到10楼的三根电线不一样长。如何测知他们的电阻？袁枚（清）：“学如箭镞，才如弓弩；识以领之，方能中鹄”。4422例8复数的定义一对有序的实数（x,y)，称做复数。前者成为实部，后者成为虚部。（错）但是，向量也是一对实数！复数的本质在于它的乘法：(a,b)·(c,d)=(ac–bd,ad+bc)4423例9“圆的认识”这样说，对吗？1．用甩动系在细绳上的小球形成圆，是传统的灌输方法。让小朋友排成圆形公平玩套花游戏，是好的结合学生实践的方法。2．用圆形纸片折纸找圆心的活动，是传统的。甩动不同长度的细绳形成圆的中心是圆心，则是探究的好方法。3．用圆规划圆在认识圆之后，是传统的灌输的。在认识圆之前使用圆规划圆，是“过程性“的好方法。我的看法是，凡是能够揭示“圆的数学本质”教学方法都有价值的。有的是动态的，有的是静态的。有的适合找圆心，有的适合找半径，有的便于表达，有的着重理解。它们没有好坏之分。4424例10。勾股定理（毕达哥拉斯定理）的教学设计用各种方法发现：方格纸上3，4，5的计算等。6张工作单：发现猜想a2+b2=c2换一种思维：将勾股定理直接告诉学生，用各种美丽的画面，讲述中外有关历史，包括和外星人联系使用的信息。把重点放在如何证明上。多种证明。最后联系到费马大定理an+bn=cn(n3)。哪一种更能体现数学本质？4425例11。文字代表数的本质：符号运算（只代表，不运算，没有价值）项武义教授：“文字代表数的本质是不定元和数字进行相同的运算。如(2x+3x2)=x(2+3x)（教材上没有讲为什么可以这样做）。解二次方程：因子分解、配方、同解变换根数学家之所以有饭吃，在于能够运用符号获得结果（复旦张荫南）4426数学符号是一种语言语文靠想象，将符号（方块字）用语法表示出来。说话写下来就是文章。数学靠理性，将数学符号通过运算、演绎得到结论。这是人为构造的语言。语文、数学、诗词、定理，都是符号运作语文是“饭”，不吃要死，容易煮熟。便宜数学是“菜”，不吃菜也可以活，但身体弱。比较贵。烧菜很难。吃菜必须合理。诗词是“酒”，酒可以不喝，酿酒更难。有人喜欢，闲时享受才喝。定理也是酒。4427例12一个例子怎能概括出负负得正？？探究式教学。例：一列每小时80公里的火车向西开，12时火车恰在上海。用上海向东向西表示方向的正负，12点之后之前为时间的正负。问10点时火车在什么位置？答案：（-2）x（-80）=160于是概括得出数的运算的规律负负得正。（先乘除后加减、颠倒相乘、分数的交换律……）数学不允许这样的概括。有意义的接受（先做后说）。先有规则，后有解释。先执行，然后举例说明其合理性。反思也是创新的必要步骤。先举例是探究，后举例说明是有意义接受。4428例13。函数的两个定义：宏观与微观人们需要宏观与微观两种观点。政治上的全局与局部；物理学上的宇宙与原子；艺术上的写意与工笔…初中的函数从大局发展着眼，宏观地观察数量之间彼此依存的关系，看总体发展趋势。宏观函数概念的本质是变量之间的依赖性。高中函数定义讲究微观地、静态地观察，用两个数集之间的对应来描述。微观函数概念的本质在于精确化的对应。两种定义互有短长，并非高级与低级之分。4429函数定义中“唯一”重要吗？唯一不是本质。不唯一成多值函数而已。多值函数单值化即可。描写圆的函数，上半圆和下半圆。反三角函数4430例14。函数的单调性单调性的本质是描述函数的变化趋势。这可以直观地观察，画图，数列等但是，单调性概念的数学本质在于处理无限变化的趋势；呈现的方式对“任意”两个自变量x1x2,都有f(x1)f(x2)将直观的自然语言表述为严格的数学语言，才能获得数学本质的认识4431例15数学归纳法的比喻1。通常借喻多米诺骨牌效应2。火车头带火车。第一节重要（火车头），然后，各节车厢一节节地连接好。3。排队。第一个是X学校学生，然后保证后面一个和我同校，X学校学生的队伍排好。数学归纳法的本质是从有限过渡到无限。以上的比喻都必须注意这个特征。相比之下，多米诺骨牌好些。4432例16。小学数学课程1，1，2，1，1，2,___,___,___应该是什么？乘数、被乘数。3个5相加，可以写成5X3，也可以写成3X5。对吗？12x4读做12乘以4，读12乘4为错。4433例17概念教学:淡化形式,注重实质.下列是问题是否妥当?判断下列各例是否正确？1.（只）有一组对边平行的四边形是梯形2。含有未知数的（等）式子叫方程3.（平面上）不相交的两条直线叫平行线平行四边形也是梯形，有何不可？x-x=0;0x=0;是方程吗？也许还要加上“在欧氏空间中”？4434例18施琅收复台湾丢银币说谎？50银币都朝上，好兆头，出兵胜利。《小学数学教师》2004。9月文章说：我们做个实验：原来丢50个银币不是都朝上。结论：说明施琅将军占卦是说谎。学生没有机械地记忆与模仿，完全是一个自主探究主动发展的过程。不4435例19。糖水浓度a--溶液（糖水）；b–溶质（糖）b/a--浓度（甜度）现在向糖水中再放糖m0，糖水变甜；b/a(b+m)/(a+m)如果b/ad/c是两杯不一样甜的糖水倒再一起，甜度会怎样？b/a(b+d)/(a+c)d/c这不是证明，却把握了数学过程的本质443620。放烟火（InteractiveMathematicsProject)主题教学一元二次函数的单元模型。高楼上放烟火，形成的曲线。顶点落地点与物理的关系：抛物线。大模型，不是一节课的引入问题4437例21。三角函数。单摆，电磁波y=ASin(ωt+φ)周期性。这是基本概念。举例（波动，简谐运动，课程表，潮汐……和谐性。这是三角函数的特征。音乐，单摆，电磁波。相位性。理解三角函数变换的难点。原始性。不定元X可以构造多项式，分式、无理式；sinx可以构造