金融数学―均值方差分析与资本资产定价模型(CAPM)

数学与信息科学学院申请人：代金辉在2013-2014年度我承担的教学任务是应用时间序列分析和概率统计公共课。在进一步总结上一年经验教训的基础上，在这一学年的教学中，我更加尽心尽力，并注意细节和改革。这一年下来，说实话感觉很累。应用时间序列分析这门课上学的时候学过，但当时的教材是北大编的研究生教材，理论性很强，又缺乏实际的操作。于是我从图书馆借了所有的时间序列教材，经过精心挑选，比较，最终选择了中国人民大学出版社出版的经典教材。之所以选择它，是因为这本书能够很好的融合理论与实践。应用时间序列分析是一门理论性和应用性都很强的课程，不能把理论和应用割裂开来，而要注重二者的结合。只讲理论，则失去了应用价值；只讲应用，学生会缺乏基本的理论素养和科研创新基础。数学专业要避免只重视定性分析的理论推导而忽视进行定量分析的实际操作，因此，选择一套适合专业需求的教材，灵活把握好理论和实践的“度”，恰当地处理好基础知识和应用的衔接与搭配，是做好时间序列分析课教学改革的关键所在。从定下这本书开始，到最终讲课，看了足有10遍。对这门课的准备还得从蒋翠霞老师在说起，那时就准备接手这门课，所以已经把这本书的第一版利用寒暑假看了两三遍，课后题也做了一遍。后来在准备考试时，又看了一本金融计量学------时间序列分析视角。所以后来张学清主任找我讲这门课的时候我很爽快的答应了。并且利用暑假时间看了课件。但当我真正开始上课，我感觉后悔了。这门专业课要想给同学们讲好，要求对内容的熟悉与贯通远远不是能够看懂这么简单。一周只有两次课，但除了上课的时间，基本上就是在备课，很耗心血，有时晚上孩子说想让妈妈陪睡觉，但课还没背完，也没办法，有时想来真的是不易。从教学计划，实验计划，实验大纲，实验指导书的制定，到最终多媒体教学的完成，每一步都倾注了大量的心血，学生的实验报告一次就70份，每次都要评阅。除了实验报告，还有纯数学的理论推导和计算题作业需要批改，任务量很大。除了上课，同学们在完成实验或论文时也总会遇到问题，所以课下也经常与同学们用短信，qq，email等多种方式沟通讨论。总体感觉，老师教的累，学生学得累，原因就是任务量大，但付出总会有回报，期末考试，同学们理论基础扎实熟练，平均分80分以上，并且动手实践能力强，熟练掌握EVIEWS软件，所写论文水平高，有些同学的论文经过修改已经能够发表。同学们也对我的工作给予了肯定，单这门课的评教成绩给出了94.93分，并且在各级领导的支持下我还成功获批教改项目一项。下面我将课程设计和改革方面做简单的介绍。1.注重教学理念的创新和教学方法的多样化.时间序列分析课兼具理论性、实用性和可操作性，单一的教学模式根本无法体现该课程的多重特点，所以在讲授过程中我会根据教学内容，灵活采取多种教学手段和教学方式。比如，在讲解AR模型的方差时，必须要给出AR模型的传递形式，而对于Green函数的推导过程，仅通过学生自己看书推导是很难完成的，我就会通过多媒体给出主要思路，尽可能采取启发式，大家共同讨论给出详细推导过程，然后在黑板上写出来。像这样的大篇幅的理论推导在时间序列分析这门课中并不少，它的理论类似于随机过程，但讨论的是时间序列。而对于模型的创建和预测，可以结合案例，通过讲解，再让学生在实验室通过上机操作研究和处理。通过自主探究和团队合作综合解决问题。2.以实验室建设为依托，大力发展统计软件的学习和使用，增强时间序列分析课的实用性.时间序列分析的应用离不开统计软件，要想有效地分析数据、解决实践问题，必须掌握一两门统计软件。对数学专业的学生来说，主要掌握eviews以及spss软件，不仅是因为它是目前最权威的计量分析领域的国际标准软件，而且具有操作简单，输出结果清晰容易理解，软件所占空间小等优势。我给同学们建了公共邮箱，每次实验的数据，包括例题和习题，都整理好发到公共邮箱里，并自编了实验指导书，作为每次实验的参考。为了给同学们实践的机会，还特意布置了课程论文，光是课程论文的题目我就准备了2个星期，要选择同学们通过努力能完成的，又要选择能够找到数据的，在写论文之前又要讲解论文的写作发法，不过最终同学们都很努力，一共11小组，都顺利的提交了论文，而且完成的都很出色。3.精心选择有实际意义的案例研究，融入时间序列分析课堂教学.根据教学内容的需要，精心选择有代表性、有针对性和客观性强的数据资料作为案例，在讲授这门课时我手里的参考书就10多本，然后对案例进行细致的剖析和广泛的讨论，一方面致力于解决实际问题，同时也让学生直接体会到理论知识在现实中的应用，这种教学方式能够极大地激发学生学习的积极性和主动性。以平稳时间序列模型为例：①设计一个问题情景：选择合适的ARMA模型拟合1880—1985年全球气表平均温度改变值差分序列。②面对这样的问题，学生先小组讨论。然后是给出序列自相关图和偏自相关图；最后选择模型，进行模型估计，模型检验。③每个小组根据小组讨论的结果，根据AIC准则和BIC准则给出最终的优化模型。④教师针对每个小组给出的解决方案，给予点评，并进一步总结平稳序列建模的方法。4.转变考核方式，从横、纵两个方向拓宽时间序列分析课程考核方式，提升学生的综合实践能力。结合这门课的特点，考核方式做了很大变动，体现了过程性评价的内容：包括学生的课堂表现、实验报告、课外作业、课程论文设计以及期末考试等1、课堂表现考核评价（10%）：包括出勤率、小组合作、小组过程设计、回答问题等以及课堂参与的积极性，以及每名同学的上课表现。2、作业情况考核评价（10%）：包括课后作业的完成数量和质量。3实验报告考核（20%）：每次实验的例题习题的完成情况，以及所采用的方法和命令是否正确，以及格式步骤是否得当。4课程论文(项目)考核（20%）：综合考核学生的实践能力，以及分析问题解决问题的能力，以及小组合作情况。5、考试考核评价（40%）：对学生期末考试等大型检测的成绩，主要考核学生对理论知识的掌握情况。对公共课的教学，我仍然坚持，提纲挈领，融会贯通，化繁为简，轻松掌握的原则。用最通俗易懂的语言，言简意赅的去表达，用生活中的例子做类比，让同学们能轻松的理解与掌握要学的知识点，并且不容易忘记。每堂课复习上节所学知识点，进而引出要学的新知识，做到温故知新。对知识点的理解是：概念-----例题-----习题-----概念的过程来完成，通过习题理解定义，掌握方法，探讨数学中的哲理，从书本中来，到生活中去，再体会书中知识。力求学以致用。第2章均值方差分析第2章均值方差分析1.两种证券投资组合的均值-方差2.均值-方差分析及两基金分离定理本章内容概览3.具有无风险资产的均值-方差分析0.证券投资组合理论概述投资组合理论形成马柯维兹(HarryMarkowitz)1952年在JournalofFinance发表了论文《资产组合的选择》，标志着现代投资理论发展的开端。第0节证券投资组合理论概述马科维茨1927年8月出生，在芝加哥大学读经济系。在研究生期间参加了计量经济学会的证券市场研究工作。马科维茨认为投资者并不简单地选内在价值最大的股票，而不仅要考虑收益，还担心风险，分散投资是为了分散风险。当时主流意见是集中投资。马克维茨运用线性规划来处理收益与风险的权衡问题，给出了选择最佳资产组合的方法，完成了论文，1959年出版了专著，不仅分析了分散投资的重要性，还给出了如何进行正确的分散方法。马的贡献是开创了在不确定性条件下理性投资者进行资产组合投资的理论和方法，第一次采用定量的方法证明了分散投资的优点。他用数学中的均值方差，使人们按照自己的偏好，精确地选择一个确定风险下能提供最大收益的资产组合。获1990年诺贝尔经济学奖。投资过程投资过程的两个重要任务：进行证券分析和市场分析：评估所有可能投资工具的风险和期望回报率特性在对证券市场进行分析的基础上，投资者确定最优的证券组合：从可行的投资组合中确定最优的风险-回报机会，然后决定最优的证券组合——最优投资组合理论选择的目标：使得均值-标准差平面上无差异曲线的效用尽可能的大选择的对象：均值-标准差平面上的可行集投资组合理论的假设条件投资者遵循效用最大化原则；投资期为1期；投资者是风险回避者；投资者根据均值、方差及协方差来选择最佳投资组合；市场是完善的；投资组合的过程资本配置——整个资产中无风险资产和风险资产之间的配置比例资产配置——风险资产组合的投资决策，两种和更多风险资产如何组合找到证券组合的有效前沿，与投资者效用函数相切获得最优投资组合投资组合理论的基本思想投资组合是一个风险与收益的权衡问题，此外投资组合通过分散化的投资来对冲掉一部分风险。——“nothingventured,nothinggained”——foragivenlevelofreturntominimizetherisk,andforagivenlevelofriskleveltomaximizethereturn“——“Don’tputalleggsintoonebasket”实现方法收益——证券组合的期望报酬风险——证券组合的方差风险和收益的权衡——求解二次规划第1节两种证券投资组合的均值-方差1.1投资组合设有两种风险资产证券，记为A和B，AAw=购买（或卖空）证券金额投资于两种证券自有金额1ABww+=满足注：权重为正数，意味着投资者买入该资产。如果是卖空，投资于资产的权重是负数。例如：假设你借100股某公司的股票，市场价格为10元，那么将股票卖出，可获得1000元现金。一段时间之后，该股票的价格5元，你在市场上购买100股，支付现金500，两者之间的差额为500元，你可以获利。举例说明1.如果你有资金1000元，投资于证券的金额为400元，投资于证券的金额为600元，4006000.4,0.610001000ABww====则有1ABw满足w+=举例说明2.假设你有资金1000元，卖空证券获现金600元，共有1600元，投资于证券，于是16001.61000Aw==对于资产6000.61000Bw-==-1ABww+=则有投资组合的期望收益与方差设证券A的收益率为RA，证券B的收益率RB是随机变量，假设我们已知RA和RB的概率分布，称((ABERERA)和)分别为证券和证券B的期望收益。投资组合的期望收益与方差(),TABww设w是一投资组合，=AABBRwRwR投资组合的收益率为w=+则期望收益()()()(1)AABBERwERwERw=+投资组合的期望收益与方差()2BBRRs证券B收益率的方差记为，()2AAARRs证券收益率的方差记为，w则投资组合的方差()()()()()()222222222()2cov,=2cov,(2)wAABBABABAABBABABRwRwRwwRRwRwRRRsssssr=++++例2.1例2.1（续）例2.2例2.2（续）例2.31.2联合线假设0.10,0.050.040.10AABBERRERR，，由式（1）0.1010.04(3)wAAERww（1）假设AR和BR不相关，0AB由式（2）1222220.0510.10(4)wAARww设自有资金1000元，卖空证券收入为500元，将这两种资金(共1500元)投资于证券，计算得1.50,0.50ABww代入式（3）和式（4）得1222221.500.100.50.040.131.50.050.500.100.09wwERR表2.1不同投资组合的期望收益和收益标准差AwwERwR1.500.1300.0900.750.0850.0450.500.0700.0560.250.0550.076-0.50.0100.152利用上述表格中的数据在,wwRER的坐标系之下画出一条曲线称为证券A和证券B的联合线（结合线）。联合线024681012141618()wR24681012141.00AAw