复数与方程

高三复习课复数与方程上海市上南中学教师：王孟琛引例||2zzi1.设z∈C，解方程：2.在复数集上分解因式：x2-2x+103.关于x的方程：x2+(-5+i)x+6-2i=0(1)若x∈R，解这个方程；(2)若x∈C，解这个方程。引例1：设z∈C，解方程：||2zzi解：令Z=a+bi(a,b∈R)代入原方程得22()2aabbii2232422aaabbb324Zi∴方程的解是引例2:在复数集上分解因式：x2-2x+10解1:方程x2-2x+10的Δ=-36，∴方程的两根是:x1=1+3i，x2=1-3i∴x2-2x+10=(x-1-3i)(x-1+3i)解2：x2-2x+10=[(x-1)2+9]=[(x-1)2–(3i)2]=(x-1-3i)(x-1+3i)引例3.关于x的方程：x2+(-5+i)x+6-2i=0(1)若x∈R，(x2-5x+6)+(x–2)i=0由复数相等的条件，得：x2-5x+6=0，且x–2=0，∴方程的实数解是：x=2(2)若x∈C，方程一根是：x=2，设另一根为x2，由根与系数的关系：2+x2=5-i，∴x2=3-i∴方程的数解是：x1=2,x2=3-i问题讨论1.如何解含有复数共轭和模的方程？2.如何在复数集中解实系数一元二次方程？实系数一元二次方程有哪些性质？3.虚系数一元二次方程有哪些性质？复习一.含有未知数和|z|的复数方程的解法，通常设z=x+yi,代入原方程，再利用复数相等的条件化为方程（组）解决，就是把复数问题实数化。z二.在复数集中,一元二次程:ax2+bx+c=0(a≠0)(a，b，c都是实数)，有如下性质：(1)△≥0时，方程有两个实根：21,242bbacxa21,242bacbixa1212,bcxxxxaa(4)实系数一元二次方程的虚根成双出现；(2)△0时，方程在C上有两个互为共轭虚根：(3)根与系数的关系：无论△≥0还是△0都有:三.若a，b，c不全都是实数，则为虚系数一元二次方程，有如下性质：1.如果求实数根，可实部与虚部分离，利用复数相等的条件来解；2.用判别式△来判断方程根的情况无效；3.违达定理仍然适用；4.虚根成双出现的性质无效。例1：设z∈C，解方程：|z|2-=(2-i)z分析：这个方程次数不高，又含有z,,|z|，∴可设z=x+yi，代入方程后，利用复数相等的条件。解：设z=x+yi，（x，y∈R），代入方程：x2+y2-(x-yi)=(2-i)(x+yi)x2+y2-x+yi=2x+y+(2y-x)izzxyyyxxyx222222002211yxyx或∴原方程的解:z=0或z=2+2i。例2：在复数集上解方程:x2-5|x|+6=0思路分析:(1)方程含有复数的模|x|,设x=a+bi(a,b∈R),把复数问题实数化.(2)方程变为x2=5|x|-6,从中可知x必是实数或纯虚数.例3:若关于x的方程x2+5x+m=0的两个根x1，x2满足|x1-x2|=3，求实数m的值．思路分析:这是实系数一元二次方程,若Δ≥0,x1，x2是两实数根,则|x1-x2|2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2若Δ0,x1，x2是两共轭虚数根,则|x1-x2|2=-(x1+x2)+4x1x2注意:|a|2=a2在a为实数时成立。例4：方程x2-2x+1-4a=0(a∈R)的两根为α、β，求：f(a)=|α|+|β|的解析式：分析:Δ=4-4(1-4a)=16a由根与系数的关系分类：(1)a0时,α、β共轭虚数；(2)a≥0时，α、β是实根；0≤a≤1/4时，α、β同为非负实数；a1/4时，α、β为异号两实数。a412例5：在复数范围内分解因式：x3-x2+3x+5例6:已知实系数一元二次方程2x2＋rx＋s=0的一个根为2i-3，求r，s的值．例7：方程x2+(m+2i)x+2+mi=0至少有一实根，求实数m的值和这方程的解．例8.复数集上解方程:izizz313例9:已知方程x2+mx+1+2i=0（m∈C）有实根，求|m|的最小值．