27应力状态和强度理论

7应力状态和强度理论7-1概述7-2平面应力状态的应力分析主应力7-3空间应力状态的应力分析7-4应力与应变间的关系7-5强度理论及其相当应力7-6各种强度理论的应用FF7.1概述问题的提出AF如：轴向拉伸杆件FpxnFp)2sin(2cos2斜截面应力：问题1：构件不同截面上的应力一般是不同的；构件同一截面上不同点处的应力一般是不同的；构件同一点处，在不同方位截面上应力一般是不同的。横截面应力：要全面研究一点处各截面的应力塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？问题2：拉压、扭转及弯曲等基本变形的强度条件maxmaxzFFFl)(BBB对于更复杂的受力状态，强度条件如何建立？——有必要研究一点的应力状态。受力构件内一点处不同方位的截面上应力的集合,称为该点处的应力状态应力哪一个面上？哪一点？哪一点？哪个方向面？指明一点的应力状态的概念研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度条件。一点的应力状态的描述研究一点的应力状态，可对一个包围该点的微小正六面体——单元体进行分析各边边长,,dxdydz在单元体各面上标上应力——应力单元体xyzxyyxyzzyzxxz单元体特征：单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布；任意一对平行平面上的应力相等。（1）、主平面与主应力：主平面：切应力为零的平面。主应力：作用于主平面上的正应力。xxyyxy主应力排列规定：按代数值由大到小。321过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力301050单位：MPa3010;30;10;50321;30;0;10321应力状态的分类单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力都等于零的应力状态。二向应力状态：有两个主应力不等于零，另一个主应力等于零的应力状态。三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。（2)、应力状态的分类平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。空间应力状态：三向应力状态简单应力状态：单向应力状态。纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。空间应力状态yxzxyzxyyxyzzyzxxz平面应力状态xyxyyxxyxyxxyyxxy单向应力状态纯剪应力状态取单元体示例一FPl/2l/2S截面5432154321S截面4PlFMz2PF1x122x223354321543214PlFMz2PFS截面取单元体示例二FPlaS截面xzy4321S截面yxzFSyMx43211pxWM1zzxWM143pxWM3p3WMxzzxWM3忽略弯曲切应力Mz7-2平面应力状态的应力分析主应力7.2.1斜截面上的应力——解析法等价xxxyyyxyoxyozxyxyxy空间问题简化为平面问题xyxyxyxyon--逆时针转为正。由分离体平衡得：;0FndAxyxyxyacbtnxxyxyacb:d:dcos:dsinbcAabAacA单元体各面面积(dcos)cosxA(dcos)sinxA(dsin)sinyA(dsin)cos0yA0,d(dcos)sin(dcos)cos(dsin)cos(dsin)sin0txxyyFAAAAAcos2sin222xyxyxsin2cos22xyx由切应力互等定理和三角变换，可得：符号规定：1)“”正负号同“”；2)“”正负号同“”；3)“”为斜面的外法线与x轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针为负。注意：用公式计算时代入相应的正负号。cos2sin222xyxyxsin2cos22xyx0d0,d00即0000dsin2cos202d2xyx讨论：yx0901)2)的极值、主应力以及主平面方位单元体的两个相互垂直截面上的正应力之和为一常数0000dsin2cos202d2xyx02tan2xxy主平面的方位)90;(000022maxmin()22xyxyx——主应力的大小可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。00,45(90)xy则在范围内取值若00,45(90)xy则在范围内取值若0045,045xxyx则若3)切应力的极值及所在截面sin2cos2,2xyx1tan22xyx——最大切应力所在的位置22maxmin()2xyx——xy面内的最大切应力1d0d令)90;(011112tan2tan1010(45)02tan2xxy——主平面的位置)90;(00001tan22xyx——最大切应力所在的位置)90;(0111将max与max、min画在原单元体上00145xyyxmaxminminmax0maxmin例7-1图示单元体，求斜面的应力及主应力、主平面并画出主应力单元。（单位：MPa）300405060解：1、求斜面的应力cos2sin222xyxyxsin2cos22xyx0040604060cos(60)22(50)sin(60)58.3(MPa)004060sin(60)(50)cos(60)218.3(MPa)30,50,60,40xyx5040602、求主应力、主平面画主应力单元02tan2xxy22maxmin()22xyxyx2280.7(MPa)40604060()(50)60.7(MPa)2216040)50(2005.6712380.7(MPa),0,60.7(MPa)主应力：主平面位置：31yxxx0主应力单元：7.2.2平面应力状态分析——应力圆2222()()22xyxyx这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆cos2sin222sin2cos22xyxyxxyx消参数（2），得：应力圆：,02xy圆心：C半径：22()2xyxRxyoxyxyxy2222()()22xyxyxRC22()2xyxR2yx应力圆：应力圆的画法D1(x,x)D2(y,y)Cxy2R22()2xyxRyyxADxyx1.作横轴为轴，纵轴为轴；2.标定与微元垂直的A、D面上的应力对应的点D1和D23.连线D1D2交轴于C点，C即为圆心，D1D2为应力圆直径点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面上的正应力和切应力几个对应关系yyxxxyHn转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致；二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。D1(x,x)D2(y,y)Cxy2(,)H2D1点的坐标(x,x)对应单元体x平面上的应力D2点的坐标(y,y)对应单元体y平面上的应力H点的坐标(,)对应单元体斜截面上的应力利用应力圆求主应力和主平面位置主应力A1和A2两点为与主平面对应的点，其横坐标为主应力1，211OAOCCA22OAOCCAOD1yB2D2C1Bx1A2A212xyOC22122xyxCACA22122xyxyx22222xyxyx主平面方位由CD1顺时针转20到CA1所以从x轴顺时针转0（负值）即到主应力1对应的主平面的外法线0的确定OD1yB2D2C1Bx1A2A2111012tan(2)()xxyBDCB02由于A1A2为应力圆的直径,则主应力2所在的另一主平面与主应力1所在的主平面垂直1022tanxxy例7-2两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示。试绘出截面C上a点处的应力圆，并用应力圆求出该点处的主应力。250kN1.6m2mABC1202709za单位：mm解:首先计算支反力,求截面C的剪力和弯矩MC=80kN•mFSC-=200kN33641203001112708810mm1212zI*312015(1507.5)256000mmzaS横截面C上a点的应力为122.5MPaCaazMyI*64.6MPaSCzaazFSId33641203001112708810mm1212zI*312015(1507.5)256000mmzaSa点的单元体如图所示。以D1D2为直径作应力圆。OCxxyxxy1D(122.5,64.6)2D(0,-64.6)A1，A2两点的横坐标分别代表a点的两个主应力1和3。11150MPaOA3227MPaOAOC1D(122.5,64.6)2D(0,-64.6)1A13A2A1点对应于单元体上1所在的主平面0245022.5主平面及主应力如图所示。02xxyxxy01320MPa例7-3试用解析法和图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力，并在单元体上标出主应力的方位。解：[解析法]易知0,0,20MPaxyx22maxmin()22xyxyx20MPa120MPa,320MPa20,02tan2xxy04522max()2xyx20MPa045x1133连接D1D2交横轴于C，以C为圆心，CD1为半径作圆。1(0,20)D2(0,20)DCo20MPa解：[图解法]A1，A2两点的横坐标分别代表两个主应力1和3。1120MPaOA3220MPaOAA1点对应于单元体上1所在的主平面0290045主平面及主应力如图所示。A1A202045x1133D1，D2两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力max和min。maxmin20MPa例7-4已知一点处两个斜截面上的应力如图所示，试用图解法求角、该点的主应力、主平面，并在图上画出主应力和主平面的方位。95MPa45MPa253MPa253MPa2OaabbC954532545702abOC22(253)2550RCa95MPa45MPa253MPa253MPa2oaabbC954532570245abOC22(253)2550RCa,5.0sin,30,15018012A1A2