ch06通信网理论分析

第八章通信网理论分析参考教材第十一章2019/8/17通信网基础2提纲排队论基础电路交换网分析分组交换网分析2019/8/17通信网基础3排队论基础排队模型泊松过程M/M/1排队M/M/m排队2019/8/17通信网基础4基本排队模型输入过程队列服务机构排队系统顾客服务完离开排队系统的三个基本组成部分.•输入过程(顾客按照怎样的规律到达);•排队规则(顾客按照一定规则排队等待服务);•服务机构(服务机构的设置,服务员的数量,服务的方式,服务时间分布等)2019/8/17通信网基础5基本排队模型－输入过程主要考察的是顾客到达服务系统的规律。可以用一定时间内顾客数或相继到达的间隔时间描述，一般分为确定型和随机型。随机型的输入是指在时间t内顾客到达数n(t)服从某一概率分布，如泊松分布。一般用λ表示单位时间顾客平均到达率，1/λ为平均间隔时间。2019/8/17通信网基础6基本排队模型－排队规则不拒绝方式（等待制系统）先到先服务（FIFO）后到先服务（LIFO）优先制服务即时拒绝方式（损失制系统）延时拒绝方式（混合制系统）2019/8/17通信网基础7基本排队模型－服务机构服务机构服务设施，服务渠道与服务员服务员数量服务时间分布确定型随机型（如：负指数分布）♂2019/8/17通信网基础8常见排队模型M/M/1排队表示泊松到达、服务时间服从负指数分布、单服务员的排队系统。M/M/m排队表示泊松到达、服务时间服从负指数服务分布、m个服务员的排队系统。M/G/1排队表示泊松到达、服务时间服从一般分布的单服务员排队系统。M/D/1排队表示泊松到达、服务时间为常数的单服务员排队系统。2019/8/17通信网基础9排队论基础排队模型泊松过程定义性质M/M/1排队M/M/m排队2019/8/17通信网基础10泊松过程定义用下面三个条件来对泊松过程进行定义。平稳性:在区间[a，a+△t]内有k个顾客到来的概率与起点a无关，只与时间区间的长度有关。无后效性：两顾客到达时刻相互独立。稀疏性：在足够小的时间间隔△t内，到达两个或两个以上的顾客的概率为0。Δttaa+Δt2019/8/17通信网基础11利用上述三点，我们可以求得在T间隔内有k个顾客到达的概率p(k)：......)2,1,0(!/)()(kkeTkpTkTkkpkEk0)()()()(222kEkEkTkE)(其平均值E(k)和方差：2019/8/17通信网基础12泊松过程和负指数分布的关系如果到达是个泊松过程，则到达的时间间隔服从负指数分布，反之亦然。证明：设是一个随即变量，代表任一时间起点与第一次到达之间的时间，取任一值t，则时间起点第一次到达tttetPePtprobtP1)()0()0,0()(）中到达数在（这正是随机变量的概率分布函数：220/1/1)()()()(1)(dfEetfetFtt概率密度函数负指数分布2019/8/17通信网基础13例题1某电话局忙时平均呼叫率为1000次，则平均来话时间间隔为多少？平均来话间隔小于等于10秒的概率是多少？2019/8/17通信网基础14泊松过程的附加特性假定有m个独立的泊松流，它们的到达率分别为λ1λ2……λn，则复合流本身也是泊松流，其速率参数mii1（证明略）2019/8/17通信网基础15排队论基础排队模型泊松过程M/M/1排队M/M/m排队2019/8/17通信网基础16M/M/1排队利用此模型来分析该系统的相关统计特性：系统中的平均顾客数E(n)、平均排队长度E(q)、顾客在系统中的平均逗留时间E(T)和平均等待时间E(w)等。泊松到达λ负指数服务μ无限大缓存器系统服务强度ρ＝λ/μ2019/8/17通信网基础17假设，当系统中有n个顾客时，称此系统处于状态n，与此对应出现该状态的概率为Pn。由此，我们可以用下图表示系统的状态转移关系。2019/8/17通信网基础18在系统状态图中，有顾客到达时，状态以λ速率向右转移一步；有顾客完成服务时状态以速率μ向左移动一步。在系统处于统计平衡状态下，可列出系统统计平衡方程：λP0=μP1(λ+μ)P1=λP0+μP2┇(λ+μ)Pn=λPn-1+μPn+12019/8/17通信网基础19在系统稳态平衡条件下，脱离n状态与进入n状态保持平衡，所有等式两边相等。根据此平衡方程，我们可以得到：001PPP02012)1(PPPP0PPnn依此类推，2019/8/17通信网基础20在M/M/1排队系统的存储容量为无穷大时，可以利用概率归一性条件:求得：于是，可以得到无限存储容量M／M／1排队的平衡状态概率：01nP)(10队列空的概率P)1()1(nnP2019/8/17通信网基础21根据所得到的状态概率Pn，可以求得不同的排队统计特性。根据随机变量平均值的定义，排队系统中的平均顾客数(包括正在被服务的一个)可以表示为：1)(0nnPnE2019/8/17通信网基础22M/M/1排队的平均队长2019/8/17通信网基础23Little公式Little公式是排队论中的一个重要公式，它说明了平均到达率λ、平均时延E(T)和平均队长E(n)三者之间的关系，这一关系式对所有排队系统，包括具有优先级排队规则的系统都是适用的。)()(TEnE2019/8/17通信网基础24应用Little公式，M／M／1排队的平均时延E(T)可以表示为：11/1)()(nETE2019/8/17通信网基础25平均等待时间E(w)和平均等待顾客数量E(q)/1)()(wETE)(/)()(nEwEqE)(nE1)(TE)(qE)(wE这四个统计量可以归纳为与λ、μ的关系：(系统中平均顾客数)(顾客平均逗留时间)(平均等待顾客数)(平均等待时间)2019/8/17通信网基础26M/M/1/N(推广到存储容量为N的有限队列排队系统)N对应的状态概率的归一性条件为：10NnnP1011NP)(11)1(NnP11)1(NNNP我们可以求得：所以有限队列M／M／1排队的状态概率为：排队系统全满的概率，即系统阻塞概率为：2019/8/17通信网基础27例题2有一个集中器被模型化为一个M/M/1排队，输出线的容量为1200bps，平均报文长度为100bit。它有N个输入端。每个平均输入率为0.1个报文/秒。计算：如果要求报文在集中器中平均延时小于1秒，最多可容纳多少个输入端？假设有60个输入端，系统的业务强度是多少？缓冲器中存储的报文数有多少？2019/8/17通信网基础28排队论基础排队模型泊松过程M/M/1排队M/M/m排队2019/8/17通信网基础29M/M/m排队M/M/m排队系统是一个多服务员指数排队系统，属于到达率和离开率依赖于系统状态的排队系统。例如没有“顾客等候室”的电路交换系统属于这一种。2019/8/17通信网基础30模型及状态转移图λμ1μm┇2019/8/17通信网基础31系统平衡方程1100PP2200111)(PPP1111)(nnnnnnnPPP2019/8/17通信网基础32解平衡方程，可以求得系统的平衡概率：式中，P0为概率常数，可以利用概率归一性条件来求解。niiniinPP11002019/8/17通信网基础33利用上述条件可以得到平衡概率：iiimi)(mim)(n!m)(n!00mnnnnmmPnPP)(mi)/(-11!1!11100mkmkmkP2019/8/17通信网基础34M/M/m特例1比较M/M/1和M/M/2系统性能，说明“使传输能力加倍”与“增加第二条与原来能力相同的中继线”，谁更有效？2019/8/17通信网基础35M/M/m特例2M/M/相当于在分组交换或电路交换两种情况下，传输线或中继线的数量总是满足需要传输的分组或呼叫数，因而永远不会有阻塞的可能性。证明：（也是泊松分布）!/P!/,00neePnPPnnnnnnn2019/8/17通信网基础36M/M/m特例3有限服务机但无存储器的情况M/M/m(m)在这个系统中，概率归一化条件为，于是nni,10mnnPmllnnlnP0!/!/mPlmPBmllmB)1()/(!/!/0当n=m时出现阻塞，因此阻塞概率PB和系统效率（每线利用率）分别为：2019/8/17通信网基础37B2019/8/17通信网基础38由上表（M/M/m(m)）可知，若要求PB≤0.1，则:当a=1爱尔兰时，须m≥3,η=0.31当a=10爱尔兰时，须m≥13,η=0.705当a=100爱尔兰时，须m≥96,η=0.94业务量↑―线路m↑―效率η↑2019/8/17通信网基础39大群化效应以PB≤0.1为例，传10爱尔兰业务量，要由10个m=3系统分散处理，共需30条线，系统效率η=0.31：2019/8/17通信网基础40也可用一个M/M/13即拒系统传，同样传10爱尔兰，保证PB≤0.1，比方案一省17条线，η提高一倍多（0.31→0.705）。可见集中器，复用器的必要性！2019/8/17通信网基础41M/M/m(m)模型在实际系统的意义顾客以泊松过程到达，并总能找到一条中继线，直到全部中继线占完。这时，顾客就不允许再进入了。这一模型常用于电路交换网的分析，由于系统不允许排队（无存储），所以被称为呼损系统，其主要的性能参数是呼损概率。2019/8/17通信网基础42总结网络的性能分析在网络管理中具有重要作用。排队论是通信网性能分析中的常用工具。在通信网络中，最常用的排队模型是M/M/m，其中呼叫（分组）到达和离去过程都服从泊松分布。电路交换系统的基本设计模型是M/M/m(m)。2019/8/17通信网基础43提纲排队论基础电路交换网分析呼损系统溢呼系统分组交换网分析2019/8/17通信网基础44呼损系统传统的电话交换网是电路交换网。一个由若干个交换节点和交换节点间的中继链路组成的电话交换网,如果在交换节点的全部出线都被占用的情况下仍有新的呼叫发生，交换节点向用户送忙音，表示将这个呼叫从交换系统中清除，这种现象称为呼损。2019/8/17通信网基础45呼损清除NnnNnANAANB0!!/),(对于交换节点来讲，如果呼叫到达是泊松过程，中继线群是全利用度线群。当系统发生呼叫阻塞时，该呼叫会被立即清除。则该系统达到统计平衡状态时，呼叫损失概率可以按爱尔兰B公式进行计算：2019/8/17通信网基础46式中，B(N,A)表示流入话务量为A，中继线数为N时的呼损概率，式中用A＝λ/μ，表示系统的业务强度，对于电话网就是系统承受的电话负荷（话务量）例如，电话网的平均来话率λ＝300次/时，每次通话平均时间2分钟（即1/μ＝2分钟），则此电话网的流入话务量A＝10Erl。话务量单位用Erl(爱尔兰，Erlang),是为了纪念丹麦话务理论家A.K.Erlang而命名的。话务量单位也可以用每小时百秒呼（ccs）来表示。Erl与ccs的关系是：Erl=36ccs。2019/8/17通信网基础47利用爱尔兰B公式计算系统的呼损概率例：假定某电话局在上午9时到10时1刻有500次呼叫发生，每次呼叫平均占用时间为200秒，中继输出线有29条，求呼损概率。解：平均来话率为：λ＝500/（75×