§6 平面向量数量积的坐标表示

§6平面向量数量积的坐标表示1.知识目标：（1）掌握“平面向量的数量积的坐标表示”这个重要的知识点；（2）会用“平面向量的数量积的坐标表示”的有关知识解决实际问题。如判断垂直、求解长度、角度与方程等.2.能力目标：体会坐标的意义，熟悉坐标化的方法.3.情感目标：在师生共同的学习过程中，培养学生合作交流，乐于探索创新的科学精神.4.本课重点：平面向量数量积的坐标表示.5.本课难点：平面向量数量积坐标表示的实际应用.如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。下面就让平面向量数量积坐标表示的运算顺利起航吧！OAB1.概念:(1)向量的夹角:(2)平面向量数量积的定义:注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.||||cosabab其中：0,a0b（0≤≤）bb2.平面向量数量积的几何意义:abBAOcosababOAB┐B'bcoscos与的数量积等于的长度与在方向上投影的乘积，或的长度与在方向上投影的乘积.abaababbbabacosbcosb3.平面向量数量积的物理意义？FS,FW:个物体在力的作用下产生位移那么力所做的功可如一用公式计算果FSW=FS=|F||S|cosθcosF4.性质:(1)垂直的充要条件：__________________(2)求模公式：_______________(3)夹角公式：_____________________||aaacos,||||ababab⊥0abab5.数量积的运算律：⑴交换律：___________⑵数乘结合律：________________________⑶分配律：___________________abba()()()ababab()abcabac注意：数量积不满足结合律abcabc思考1：向量的加法、减法、数乘都可以用“坐标语言”表示，向量的数量积能否由“坐标语言”来表示？若两个向量1122(,),(,)axybxy1122()()?abxiyjxiyj请计算下列式子：①②③④=ii=jj=ij=ji设x轴上单位向量为i，y轴上单位向量为j11001122(,),(,),axybxy已知怎样用,ab的坐标表示呢？请同学们思考！ab1122,axiyjbxiyj解：由题意得2212122112xxixyijxyijyyj1212xxyy1122()()abxiyjxiyj这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即1212abxxyy(5,7),(6,4),.设求abab练习：求值121212125,6;7,4.567430282.xxyyabxxyy解：【技巧方法】区分好横纵坐标，准确代入数值，精心计算.思考2如何用向量的坐标来表示两向量数量积的相关性质？(2)求模公式：||aaa坐标表示为：(,)设，则||=axya22xy坐标表示为：(1)垂直的充要条件：1122,,,,设非零向量则:axybxy12120abxxyy坐标表示为：cos||||abab(3)夹角公式：1122(,),(,),axybxyab设与的夹角为，则121222221122cosxxyyxyxy222121()()xxyy特别地：AB|AB|d、两点间的距离11222121A(,)B,AB,xyxyxxyy若，(),则:典型例题分析例1已知，，求向量与的夹角的余弦值.3,2a1,1bab2222312126cos,26321126.26abab设向量与的夹角为，则即向量与夹角的余弦值为解：法12222θ31211,3213,112,126cosθ,2613226.26abababab解法2设向量与的夹角为，则即向量与夹角的余弦值为【技巧方法】1.细心代入，精确计算.2.分步计算，难度化整为零.例2求以点C(ɑ,b)为圆心，r为半径的圆的方程.特别地：如果圆心在坐标原点上，这时α=0,b=0，那么圆的标准方程为x2+y2=r2.CMxoy即圆的标准方程.解：设M（x,y)是圆C上任意一点，所以(x-α)2+(y-b)2=r2,则||=r,CM即·=r2CMCM因为=（x-α,y-b),CM【技巧方法】设圆上任意一点M（x，y），构造向量，利用向量的模为定值，列出相等关系，化简即得所求曲线的方程.MCyxo.例3已知圆C:（x-ɑ)2+(y-b)2=r2，求与圆C相切于点Po（xo,yo)的切线方程.cp0p.l解:设P（x,y)为所求直线l上一点.根据圆的切线性质，有⊥，即·=0CPlCPPP因为=(xo-ɑ,yo-b),=(x-xo,y-yo),所以(xo-ɑ)(x-xo)+(yo-b)(y-yo)=0.CPPP【技巧方法】将相关向量用坐标表示，根据互相垂直的向量的数量积等于零，写出表达式.若ɑ=0，b=0,圆的标准方程为x2+y2=r2，与它相切于P0（x0，y0）的切线方程为x0（x-x0）+y0（y-y0）=0，由于x02+y02=r2，故此方程可化为x0x+y0y=r2.特别地：直线的方向向量由解析几何知，给定斜率为k的直线l，则向量m=（1，k）与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量.例4已知直线l1:3x+4y-12=0和l2:7x+y-28=0，求直线l1和l2的夹角.解:任取直线l1和l2的方向向量222231,1,7.4cos311724cos,2311744512和设向量与夹角为，因为，从而所以，即直线和的夹角为45.mnmnmnmnll【技巧方法】利用斜率为k的直线l的方向向量为m=（1，k），写出直线l1和l2的方向向量，然后运用向量的夹角公式计算出夹角的余弦值，从而求出夹角.注意：直线的夹角取值范围[0,],当求出的向量的夹角为钝角时，应取其补角.22-7432312.已知=（-1，2），=（3，2），则（-）=_____.3.已知，=（2，-5），则=______.ab1,0aababab(2,3),a(2,4);b()()______.则abab4.已知5.给定两个向量(3,4),(2,1)ab若()axb(),ab__则x⊥()axb(),ab____则x∥若63.65D33.65B33.65C63.65A1.若则与夹角的余弦值为（）(3,4),(5,12),ababB6.已知向量(1sin),，a(1cos)，b，则ab的最大值为_____27、已知向量（１）求与的夹角的余弦值；（２）若向量与垂直，求的值.(4,3),(1,2)ababab2ab14(1)322ab（解）：22||(1)25b2cos||||55abab22||435又a(2)(4,32)ab2(7,8)ab()(2)abab7(4)8(32)0529理解和应用向量坐标表示的公式解决问题：1、数量积的坐标表示1212abxxyy2、向量坐标表示的求模公式22222,或axyaxy3、平面内两点间的距离公式221212AB))xxyy（（4、两向量夹角的余弦5、向量垂直的判定12120abxxyy121222221122cosxxyyxyxy不患位之不尊，而患德之不崇；不耻禄之不伙，而耻智之不博。——张衡