§6 实对称矩阵的标准形

上页下页返回结束§6实对称矩阵的标准形在第五章我们得到，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，即存在可逆矩阵C使TCAC成对角形.现在利用欧氏空间和特征值与特征向量理论，第五章中关于实对称矩阵的结果可以加强为：对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n即正交矩阵T，使1TATTAT成对角形，显然这个对角形不仅与A是合同的，而且与A是相似的.上页下页返回结束引理1设A是实对称矩阵，则A的特征值全为实数.证明：设0是A的特征值，于是有非零向量12(,,,)Tnxxx使得0.A12(,,,),Tnxxx令其中ix为ix的共轭复数，则0.A考察等式A()A()AA对称A是实的00.又因为是非零向量，()A上页下页返回结束11220nnxxxxxx故从而00,即0是一个实数.上页下页返回结束对应于实对称矩阵A，在n维欧氏空间Rn上定义一个线性变换A如下：1122.nnxxxxAxxA显然A在标准正交基12100010,,,001n下的矩阵就是A.上页下页返回结束引理2设A是实对称矩阵，A的定义如上，则对任意的,,n有(,)(,),AA或.TTAA证明：TTTAA()TA.TAA对称[()]TTA是一个实数，视为一个1×1的矩阵上页下页返回结束设A为欧氏空间V上的线性变换，若对于任意,,V都有(,)(,),AA则称为A为对称变换，或自伴随变换.定义12上页下页返回结束引理3设A是对称变换，V1是A的不变子空间，则1V也是A的不变子空间.证明：任取1,V要证1,VA即要证1,VA对于任意的1,V都有1,VA故(,)0.A因此，(,)(,)0.AA即1,VA1V也是A的不变子空间.上页下页返回结束引理3设A是实对称矩阵，则Rn中属于A的不同特征值的特征向量必正交.证明：设,是A的两个不同的特征值，,分别是属于,的特征向量，即,.AA定义Rn中线性变换A：Ax＝Ax，x∈Rn.于是,.AA由于(,)(,),AA有(,)(,),因为,所以(,)0,即,正交.上页下页返回结束定理7对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n级正交矩阵T，使得1TATTAT成对角形.证明：由实对称阵和对称变换的关系，只要证明明对称变换A有n个特征向量做成的标准正交基即可.对空间的维数n作归纳法.n=1时，显然定理的结论成立.设n－1时定理的结论成立.对n维欧氏空间Rn，线性变换A有一特征向量1,其特征值为实数1.上页下页返回结束将1单位化，还用1代表它.作1()L的正交补，设为V1.由引理3，V1是A的不变子空间，其维数为n－1.又A|V1显然也是对称变换，由归纳假设，A|V1有n－1个特征向量2,,n作为V1的标准正交基.从而12,,,n是Rn的标准正交基，又是A的n个特征向量.定理得证.上页下页返回结束定理7中正交矩阵T的求法在定理的证明过程中我们利用矩阵A在Rn中定义了一个线性变换A，求正交变换T的问题就相当于在Rn中求一组由A的特征向量构成的标准正交基.事实上，设11121212221112,,,nnnnnnnttttttttt是Rn的一组标准正交基，它们都是A的特征向量.上页下页返回结束显然，由12,,,n到12,,,n的过渡矩阵就是111212122212.nnnnnnttttttTtttT就是一个正交矩阵，且1TATTAT成对角形.上页下页返回结束正交矩阵T的计算步骤1.求出A的特征值.设1,,r是A的全部不同的特征值.2.对于每个,i解齐次线性方程组12()0,inxxEAx求出一个基础解系，这就是A的特征子空间iV的一组基：12,,,.iiiik再作Schimidt正交化得12,,,iiiik它就是iV一组标准正交基.上页下页返回结束3.因为1,,r两两不同，所以将它们各自的标准正交基合并起来即得Rn的一组标准正交基.11112112,,,,,,,rkrrrk也是A的特征向量.4.最后按顺序将3中所求的特征向量排成正交矩阵T，则12121.rkkrkEETATTATE上页下页返回结束例已知01111011,11011110A求一正交矩阵T使得1()TATTAT成对角形.解：先求A的特征值.由3111111||(1)(3),111111EA即得A的特征值为1（三重），－3.上页下页返回结束其次，求属于特征值1的特征向量.为此考虑线性方程组(1)0,EAX即31243124312431240,0,0,0.xxxxxxxxxxxxxxxx求得基础解系为123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1).把它正交化，得上页下页返回结束11(1,1,0,0),2122111(,)11(,,1,0),(,)22313233121122(,)(,)111(,,,1).(,)(,)333再单位化，得111(,,0,0),222112(,,,0),66631113(,,,).12121212这就是属于三重特征值1的三个标准正交的特征向量.上页下页返回结束再求属于－3的特征向量.为此考虑齐次线性方程组(3)0,EAX即312431243124312430,30,30,30.xxxxxxxxxxxxxxxx求得基础解系为(1,1,1,1).将它单位化得41111(,,,).2222上页下页返回结束特征向量1234,,,构成R4的一组标准正交基，所求的正交矩阵为111122612111122612.211026123100212T而11.13TAT上页下页返回结束注上例中可进一步要求|T|=1，基即要求正交矩阵T是第一类的.事实上，如果求得的正交矩阵T的行列式为－1，则取11.11S于是T1＝TS是正交矩阵，且1||||||1.TTS上页下页返回结束注2如果线性替换11111211221122121121,,nnnnnnnnnnxcycycyxcycycyxcycycy的矩阵C=(cij)是正交的，则它就称为正交的线性替换.正交的线性替换显然是非退化的.上页下页返回结束定理7的二次型语言描述定理8任意一个实二次型,1,()nijijijjiijaxxaa都可以经过正交的线性替换变成平方和2221122,nnyyy其中平方项的系数12,,,n就是矩阵A的特征多项式全部的根.上页下页返回结束正交变换（正交矩阵）的几何应用二次曲面的分类在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是222112233121323222axayazaxyaxzayz1232220.bxbybzd令111213121222323132333,,.aaaxbAaaaXyBbaaazb则上述方程可写成20.TTXAXBXd上页下页返回结束经过转轴，坐标变换公式111213121222313132331,xcccxycccyzcccz或者1.XCX其中C为正交矩阵且|C|=1.在新坐标系中，曲面的方程就是111()2()0.TTTXCACXBCXd由定理7及注可知，存在行列式为1的正交矩阵C使123.TCAC上页下页返回结束即可以作一转轴，使曲面在新坐标系下的方程为2221121311121312220,xyzbxbybzd其中123123(,,)(,,).bbbbbbC此时，再按照123,,是否为零的情况，作适当的移轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程.例如：123,,全不为零.作移轴112121223123,,,bxxbyybzz此时曲面的方程为2221222320,xyzd其中222312123.bbbdd