第一篇_第五节分析法、综合法与反证法

第五节分析法、综合法与反证法考纲点击1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点.热点提示1.本考点在高考中每年都要涉及，主要以考查直接证明中的综合法为主.2.反证法仅作为客观题的判断方法不会单独命题.1．直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论从要出发，逐步寻求使它成立的直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件实质由因导果执果索因框图表示文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证…即证…推理论证成立证明的结论充分条件2．间接证明反证法：假设原命题(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．不成立矛盾1．若a＜b＜0则下列不等式中成立的是()A.1a＜1bB．a＋1b＞b＋1aC．b＋1a＞a＋1bD.ba＜b＋1a＋1【解析】∵a＜b＜0，∴1a＞1b，又b＞a，∴b＋1a＞a＋1b.【答案】C2．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数【解析】∵a，b，c恰有一个是偶数，即a，b，c中只有一个偶数，其反面是两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数，故只有D正确．【答案】D3．(2008年日照模拟)若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b与a＜b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】①②正确，③中，a≠c，b≠c，a≠b可能同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3.【答案】C【解析】x2－y2＝a＋b＋2ab2－(a＋b)＝－(a＋b－2ab)2＝－(a－b)22.∵a，b是不相等的正数，∴a≠b，∴(a－b)2＞0，∴－(a－b)22＜0.∴x2＜y2.又∵x＞0，y＞0，∴x＜y.【答案】x＜y5．已知函数f(x)满足：f(p＋q)＝f(p)f(q)，f(1)＝3，则f2(1)＋f(2)f(1)＋f2(2)＋f(4)f(3)＋f2(3)＋f(6)f(5)＋f2(4)＋f(8)f(7)＝________.【解析】由f(p＋q)＝f(p)f(q)，令p＝q＝n，得f2(n)＝f(2n)．原式＝2f2(1)f(1)＋2f(4)f(3)＋2f(6)f(5)＋2f(8)f(7)＝2f(1)＋2f(1)f(3)f(3)＋2f(1)f(5)f(5)＋2f(1)f(7)f(7)＝8f(1)＝24.【答案】24综合法证明不等式已知x＋y＋z＝1，求证：x2＋y2＋z2≥.【思路点拨】利用a2＋b2≥2ab，同时变形利用x＋y＋z＝1，从而(x＋y＋z)2＝1可证．【自主探究】∵x2＋y2≥2xy，x2＋z2≥2xz，y2＋z2≥2yz，∴2x2＋2y2＋2z2≥2xy＋2xz＋2yz.∴3x2＋3y2＋3z2≥x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz.∴3(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝1.∴x2＋y2＋z2≥.【方法点评】1.综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．2．综合法是中学数学证明中常用方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．1．已知x，y，z为正实数且x，y，z不全相等．求证：x2y＋y2z＋z2x＞x＋y＋z.【证明】∵x，y，z为正实数，∴x2y＋y≥2x2y·y＝2x，y2z＋z≥2y2z·z＝2y，z2x＋x≥2z2x·x＝2x.又∵x，y，z不全相等，∴以上三式不能同时取到等号，∴以上三式相加得x2y＋y＋y2z＋z＋z2x＋x＞2x＋2y＋2z，即x2y＋y2z＋z2x＞x＋y＋z.分析法已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：【思路点拨】a⊥b⇔a·b＝0，同时注意，a2＝|a|2，将要证式子变形平方即可获证．【自主探究】∵a⊥b，∴a·b＝0要证只需证|a|＋|b|≤|a＋b|，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．【方法点评】1.分析法也是中学数学证明问题的常用方法，其主要过程是从结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件．2．分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知事实．用分析法证“若P则Q”这个命题的模式是：为了证明命题Q为真，这只需证明命题P1为真，从而有……这只需证明命题P2为真，从而有………这只需证明命题P为真．而已知P为真，故Q必为真．【特别提醒】用分析法证题时，一定要严格按格式书写，否则容易出错．2．已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，试用分析法证明不等式(a＋1a)(b＋1b)≥254.【证明】∵a＞0，b＞0且a＋b＝1，故0＜a＜1,0＜b＜1,0＜ab＜1，要证(a＋1a)(b＋1b)≥254，只需证ab＋a2＋b2＋1ab≥254，只需证4(ab)2＋4(a2＋b2)－25ab＋4≥0，只需证4(ab)2＋8ab－25ab＋4≥0，只需证4(ab)2－17ab＋4≥0，即证ab≥4或ab≤14，只需证ab≤14，而由1＝a＋b≥2ab，∴ab≤14显然成立，所以原不等式(a＋1a)(b＋1b)≥254成立.反证法已知a，b，c是互不相等的实数．求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．【思路点拨】利用反证法：【自主探究】假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点)，由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，Δ2＝(2c)2－4ab≤0，Δ3＝(2a)2－4bc≤0.同向不等式求和得，4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca≤0，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c，这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．【方法点评】1.反证法是间接证明问题的一种常用方法，其证明问题的一般步骤为：(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．(结论成立)2．用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．3．常见的“结论词”与“反设词”如下：原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n－1个p或q¬p且¬q至多有n个至少有n＋1个p且q¬p或¬q3．若x，y都是正实数，且x＋y＞2.【证明】假设1＋xy＜2和1＋yx＜2都不成立，则有1＋xy≥2和1＋yx≥2同时成立，因为x＞0且y＞0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，这与已知条件x＋y＞2矛盾，因此1＋xy＜2和1＋yx＜2中至少有一个成立．1.(2009年辽宁高考)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若CD=2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．【解析】(1)取CD的中点G，连接MG，NG，(2)假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB⊄平面DCEF.又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF，而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB∥EN，又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立．所以ME与BN不共面，它们是异面直线．2．(2009年重庆高考)已知a1＝1，a2＝4，an＋2＝4an＋1＋an，bn＝，n∈N*.(1)求b1，b2，b3的值；(2)设cn＝bnbn＋1，Sn为数列{cn}的前n项和，求证：Sn≥17n；(3)求证：|b2n－bn|【解析】(1)因为a2＝4，a3＝17，a4＝72，所以b1＝4，b2＝174，b3＝7217.(2)由an＋2＝4an＋1＋an得an＋2an＋1＝4＋anan＋1，即bn＋1＝4＋1bn.所以当n≥2时，bn＞4，于是c1＝b1b2＝17，cn＝bn＋1bn＝4bn＋1＞17(n≥2)，所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn≥17n.(3)当n＝1时，结论|b2－b1|＝14＜1764成立．当n≥2时，有|bn＋1－bn|＝4＋1bn－4－1bn－1＝bn－bn－1bnbn－1≤117|bn－bn－1|≤1172|bn－1－bn－2|≤…≤117n－1|b2－b1|＝14·17n－1.所以|b2n－bn|≤|bn＋1－bn|＋|bn＋2－bn＋1|＋…＋|b2n－b2n－1|≤14[(117)n－1＋(117)n＋…＋(117)2n－2]＝14·117n－11－117n1－117＜164·117n－2(n≥2)．因此|b2n－bn|＜164·117n－2(n∈N*)．1．综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知．2．分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知．3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．4．反证法在高考中的要求不太高，但是这种“正难则反”的思维方式要引起足够的重视，要与命题的否定，否命题的概念结合起来学习．在解决问题时要从多方面，多渠道考虑，提高解决问题的灵活性．课时作业点击进入链接课时作业点击进入链接