10年北京师范大学量子力学试题

北京师范大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试试题报考专业：物理学各专业考试科目代码：609考试科目名称：量子力学注意：1.本试题满分为150分，考试时间为180分钟。2.请将答案全部写在报考点提供的答题纸上，本试题上作答无效。一、回答问题（50分）1．若粒子处于稳定状态的波函数(,,)xyz为已知，试求下面问题概率的计算公式；（1）粒子Z坐标值出现在Z1—-Z2范围内的概率(5分)。（2）粒子Py动量值出现在P1—-P2范围内的概率(5分)。（3）粒子Py动量值出现在P1—-P2范围内，同时Z坐标值出现在Z1—Z2范围内的概率(5分)。2．在量子力学中，关系ˆˆˆˆrppr是否成立？为什么？(5分)3．若氢原子在t=0处在状态31022101cc中，求t时刻氢原子的波函数。(5分)4．描述微观粒子的运动方程为什么必须是线性的，而且对时间的导数必须是一阶的？(5分)5．轨道角动量平方的本征值是22，写出ˆyL的本征值(5分)。6．不对易的厄米算符是否一定没有共同的本征函数？若有请举例说明(5分)。7．量子力学中的守恒量是如何定义的？（5分），守恒量有什么性质？（5分）。二、设某体系的哈密顿ˆH不显含时间，且ˆnHnEn。若t=0时刻体系处于能量取值分别为E1、E2、E3，相应的概率分布为1/2、1/4、1/4的状态。试写出该时刻体系态矢量(0)的一种可能表达式，及t0时()t的一种可能表达式。（20分）第1页（共2页）三、（20分）设A是体系的守恒量，证明在任意态下，它的平均值及几率分布都不随时间变化。四、（20分）自旋为1/2内禀磁矩为的带电粒子q处于磁场B中运动,当B空间分布均匀而随时间变化时，证明粒子的波函数可表示成空间函数与自旋函数的乘积，并写出它们满足的波动方程。五、（20分）一维运动粒子的状态是0()(0)00xAxexxx求：①粒子动量的几率分布函数，②粒子的平均动量。六、（共20分）两个自旋1/2，质量为m的无相互作用的全同费米子同处于线性谐振子场中，写出基态和第一激发态的能量本征值和本征函数，并指出简并度。2010年研究生量子力学试题参考答案及评分标准一、二、略三、（20分）))t(Aˆ),t((A它随时间变化为rd)t(Aˆ),t(dtddtAd*rdt)t(Aˆ)t(rd)t(tAˆ)t(rd)t(Aˆt)t(***rd)t(Aˆ)t())t(Hˆi1rd)t(HˆAˆ)t(i1rd)t(tAˆ)t(***i]Hˆ,Aˆ[tAˆdtAd。（5分）因Hˆ是守恒量，它不显含t、且与哈密顿对易0]Hˆ,Aˆ[，则0dAdt。（5分）由于Aˆ与Hˆ对易，所以可找到一完全集包括Aˆ和Hˆ，其共同本征函数组nsu（n代表除Aˆ的其他力学量的量子数）nsnnsuEuHˆnssnsuAuAˆ而Hˆti的特解是定态解/tiEnsnsne)r(u。通解（即任何一个态）为s,n/tiEnsnsne)r(uc)t,r(。（5分）对Aˆ的平均值))t(Aˆ),t((Arde)r(ucAˆe)r(ucs,n/tiEsnnss,n/tiE*ns*nsnn/t)EE(isn*nsss,n,s,nsn*nsnnerd)r(u)r(uAccnnAccssss,n,s,nsn*nsss,n2nsAc。（5分）所以Aˆ不随t变，而取sA的几率2nsc也不随t变。四、（20分）解：粒子的哈密顿量201()2BqHpAqBHBc（10分）其中是电磁场的矢势和标势，由于与空间坐标无关，所以粒子的波函数可写为空间波函数与自旋函数的乘积：代入含时间的Schrödinger方程（10分）五、（20分）解：(1)先求归一化常数，由02222)(1dxexAdxxx2341A∴2/32A（5分）xxex22/32)()0(x0)(x)0(xdxxedxxepcxikikx)(2/32/12)21()(21)(dxeikeikxxikxik)(0)(2/131[)22(22/1322/13)(1)22()()22(piikx（5分）动量几率分布函数为222233222232)(12)(12)()(pppcp（5分）(2)dxedxdxeidxxpxpxx)(4)(ˆ)(3*dxexxix23)1(4,AB()(,,)(,)()zatrtsrtbtˆiHt0()()()()()()()()BatatatatiiHBbtbtbtbttt0ˆ(,)iHrtt()()()()BatatiBbtbttdxexxix223)(4)4141(4223i=0（5分）六、（20分）解：单粒子能级及波函数（空间部分）为1()2nEn，2212()xnnnNeHx，（,0,1,2mn）（2分）二粒子体系总波函数应是反对称的：(1,2)(1,2)(1,2)AsA或(1,2)(1,2)(1,2)AAs（3分）基态：000(1)(2)EEE0001(1,2)(1)(2)(1)(2)(2)(1)2，不简并。（2分）第一激发态：12E01011120101(1)(2)1(1)(2)(2)(1)(1)(2)2(1)(2)(2)(1)1(1)(2)(2)(1)(1)(2)(2)(1)2AssA是四重简并的。第2页（共2页）