11-12-2高等数学下(通信电子本科)B卷及答案

《高等数学(下)》试卷(B)第1页共6页2011－2012学年第二学期期末考试《高等数学（下）》试卷(B)答卷说明：1、本试卷共6页，四个大题，满分100分，120分钟完卷。2、闭卷考试。3、适用班级：11级通信系、电子系本科各班.题号一二三四总分分数评阅人:_____________总分人：______________一、单项选择题（共10小题，每小题3分，共30分）。【】1.设有直线L:111123xyz及平面:231xyz,则直线L(A)平行于(B)在内(C)垂直于(D)与斜交【】2.锥面22zxy与柱面22zx的交线在xoy面的投影为(A)22(1)1xy(B)22(1)1xy(C)220,(1)1zxy(D)220,(1)1zxy【】3.设函数),(yxzz由方程334zxyz确定,则(1,1,1)zx的值为(A)2(B)12(C)12(D)2【】4.函数),(yxfz在点(,)xy处偏导数,zzxy存在是函数在该点可微的(A)必要条件（B)充要条件(C)充分条件(D)既非充分也非必要条件【】5.将二次积分100(,)xdxfxydy转化成先对x,后对y的二次积分为(A)110),(ydxyxfdy(B)xdxyxfdy010),(得分__________________系__________专业___________班级姓名_______________学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………密封线内答题无效《高等数学(下)》试卷(B)第2页共6页(C)ydxyxfdy010),((D)1010),(dxyxfdy【】6.设L为圆224xy(逆时针方向),则(2)(3)Lxydxyxdy(A)3(B)2(C)2(D)4【】7.下列级数中,发散的级数是(A)1121nn(B)1(1)2nnn(C)2111nn(D)1(1)1nnn【】8.幂级数13nnnxn的收敛域为(A)(3,3)(B)[3,3)(C)[3,3](D)(3,3]【】9.若二阶齐次线性微分0)()(yxqyxpy有特解:xey1,xey2,13xey,xey24,21,CC是两个任意常数,则该方程的通解可表为(A)121xxeCeC(B)xxeCeC221(C)xxeCeC21(D)xxxeCeC21【】10.微分方程xxeyyy23的一个特解应具有形式(,ab为常数)(A)xebax)((B)xebxax)(2(C)xae(D)axe二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分）1.设点)2,1,1(A及点)3,2,0(B,则||AB_______;向量AB与x轴的夹角为,则方向余弦cos___________.2.设yzx,则dz_______________________________.3.函数22(,)fxyxxy在点(1,1)P处方向导数的最大值为________________.4.设L是连接(1,0)及(0,1)两点的直线段,则(2)Lxyds_____________.5.函数1()2fxx展开成x的幂级数为.得分《高等数学(下)》试卷(B)第3页共6页三、计算题(共7小题,每小题6分,共42分)1.已知曲线2,21yxzx上一点(1,1,3)M,(1)求曲线在M点处的一个切向量;(2)求曲线在M点处的切线及法平面方程.2.求函数32(,)6125fxyyxxy的极值.得分《高等数学(下)》试卷(B)第4页共6页3.平面薄片的面密度为22(,)xyxy,所占的闭区域D由上半圆周24yx及x轴所围成,求该平面薄片的质量.4.利用高斯公式计算曲面积分xdydzydxdzzdxdy,其中为平面0z和3z及圆柱面221xy所围立体的整个表面的外侧.《高等数学(下)》试卷(B)第5页共6页5.设曲线通过(0,2)点,且曲线上任一点),(yxM处的切线斜率等于2xy,求该曲线的方程.6.求微分方程xeyyy22的通解.7.判断级数211(1)3nnnn是否收敛？如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛？《高等数学(下)》试卷(B)第6页共6页四、综合应用题(共2小题,共13分,其中第1题6分,第2题7分).1.(6分)要造一个体积为定数K的长方体集装箱,应如何选择其尺寸,方可使它的表面积最小?2.(7分)设在xoy平面有一变力(,)()()Fxyxyixyj构成力场,(1)证明质点在此力场中移动时,场力所作的功与路径无关;(2)计算质点从点(1,1)A移动到点(2,3)B时场力所作的功.《高等数学（下）》试卷(B)参考答案及评分标准一.选择题(每小题3分,共30分).题号12345678910答案CCBAADABCA二.填空题(每小题3分,共15分).(1)||3AB;3cos3(2)1lnyydzyxdxxxdy(3)13(4)322得分《高等数学(下)》试卷(B)第7页共6页(5)101,222nnnxx三.计算题(每小题6分,共42分).1.(6分)(1)2,2xxyxz,曲线在点(1,1,3)M处的一个法向量(1,2,2)T,……………（2分）(2)在点(1,1,3)M的切线方程为113122xyz…………………………………（2分）法平面方程为(1)2(1)2(3)0xyz即2290xyz…………………………………………………………………（2分）2.(6分)262,3120xyfxfy,令0,0,xyff,得驻点(3,2),(3,2)…………………（2分）2,0,6xxxyyyfffy,有(3,2)2,(3,2)0,(3,2)12,xxxyyyAfBfCf2240,ACB所以(3,2)不是极值点……………………………………………………………………………（2分）而(3,2)2,(3,2)0,(3,2)12,xxxyyyAfBfCf2240,ACB所以(3,2)为极大值点,极大值为(3,2)30f……………………………………………………（2分）《高等数学(下)》试卷(B)第8页共6页3.(6分)平面薄片的质量22(,)(1)DDMxydxdyxydxdy……………………（2分）2200dd……………………………………（2分）4201[]44…………………………………（2分）4.(6分)空间区域由220,3,1zzxy所围成,由高斯公式,有原式dvzRyQxP)((111)dv…………………………（3分）3dv23139……………………（3分）5.(6分)设所求曲线为)(xyy,由题意得,2yxy,(0)2y,………………（2分）分离变量,12dyxdxy,积分,21lnyxC,所以通解为2xyCe………………………………………………………………（2分）由(0)2y,得2C,从而所求曲线为22xye……………………………………（2分）6.(6分)对应的齐次方程02yyy的特征方程为0122rr,得特征根121rr,则对应的齐次方程的通解为xexCCy)(21…………………………………………………（2分）对于非齐次方程xeyyy22,1为0122rr的二重根,2)(xP,设其特解为xexQy)(*,其中2)(axxQ,a为待定系《高等数学(下)》试卷(B)第9页共6页数,……………………………………（2分）)(xQ满足)()(xPxQ,即22a,所以1a,从而2)(xxQ,特解xexy2*,故原方程的通解为xxexexCCy221)(.………………………………………………………（2分）7.(6分)由于22111(1)33nnnnnnn，而212(1)1limlim33nnnnunun，则211(1)3nnnn收敛，………………………………………………（3分）从而211(1)3nnnn也收敛，且为绝对收敛.……………………………………………………（3分）四、综合应用题(共2小题,共13分,其中第1题6分,第2题7分).1.(6分)设该集装箱的长,宽,高为zyx,,,由题意知xyzK,则Kzxy,容器的表面积2222222()2KKKAxyyzxzxyxyxyxyxy,0,0yx……………（3分）令22220220xyKAyxKAxy,解得驻点3xyK……………………………………………………（2分）因实际问题存在最小值,且驻点唯一,所以当3xyzK时,容器的表面积最小,从而用料最省.……………………………………………………………………………………………（1分）2.(7分)证明:(1)(,)Pxyxy,(,)Qxyxy,《高等数学(下)》试卷(B)第10页共6页由于在xoy面内,1PQyx恒成立,且,PQyx连续,故质点在该力场中移动时场力所作的功与路径无关.………………………………………………（4分）(2)质点从点(1,1)A移动到点(2,3)B时场力所作的功(与路径无关),路径L可取折线段BCCA,,其中点(2,1)C,从而(2,3)(2,3)(1,1)(1,1)WFdrPdxQdy(2,1)(1,1)()()xydxxydy+(2,3)(2,1)()()xydxxydy23115(1)(2)2xdxydy…………………………………（3分）