11-12学年高中数学1.5.3定积分的概念同步练习新人教A版选修2-2

学而思网校定积分的概念一、选择题1．定积分13(－3)dx等于()A．－6B．6C．－3D．3[答案]A[解析]由积分的几何意义可知13(－3)dx表示由x＝1，x＝3，y＝0及y＝－3所围成的矩形面积的相反数，故13(－3)dx＝－6.2．定积分abf(x)dx的大小()A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关D．与f(x)、区间[a，b]和ξi的取法都有关[答案]A[解析]由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤知A正确．3．下列说法成立的个数是()①abf(x)dx＝i＝1nf(ξi)b－an②abf(x)dx等于当n趋近于＋∞时，f(ξi)·b－an无限趋近的值③abf(x)dx等于当n无限趋近于＋∞时，i＝1nf(ξi)b－an无限趋近的常数④abf(x)dx可以是一个函数式子A．1B．2C．3D．4[答案]A[解析]由abf(x)dx的定义及求法知仅③正确，其余不正确．故应选A.4．已知13f(x)dx＝56，则()学而思网校12f(x)dx＝28B.23f(x)dx＝28C.122f(x)dx＝56D.12f(x)dx＋23f(x)dx＝56[答案]D[解析]由y＝f(x)，x＝1，x＝3及y＝0围成的曲边梯形可分拆成两个：由y＝f(x)，x＝1，x＝2及y＝0围成的曲边梯形知由y＝f(x)，x＝2，x＝3及y＝0围成的曲边梯形．∴13f(x)dx＝12f(x)dx＋23f(x)dx即12f(x)dx＋23f(x)dx＝56.故应选D.5．已知abf(x)dx＝6，则ab6f(x)dx等于()A．6B．6(b－a)C．36D．不确定[答案]C[解析]∵abf(x)dx＝6，∴在ab6f(x)dx中曲边梯形上、下底长变为原来的6倍，由梯形面积公式，知ab6f(x)dx＝6abf(x)dx＝36.故应选C.6．设f(x)＝x2(x≥0)，2x(x0)，则1－1f(x)dx的值是()[答案]D[解析]由定积分性质(3)求f(x)在区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f(x)在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，显然D正确，故应选D.7．下列命题不正确的是()A．若f(x)是连续的奇函数，则B．若f(x)是连续的偶函数，则C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则abf(x)dx0D．若f(x)在[a，b)上连续且abf(x)dx0，则f(x)在[a，b)上恒正学而思网校[答案]D[解析]本题考查定积分的几何意义，对A：因为f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确．对B：因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方或上方且面积相等，故B正确．C显然正确．D选项中f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)0的曲线围成的面积比f(x)0的曲线围成的面积大．[答案]B9．利用定积分的有关性质和几何意义可以得出定积分1－1[(tanx)11＋(cosx)21]dx＝()A．201[(tanx)11＋(cosx)21]dxB．0C．201(cosx)21dxD．2[答案]C[解析]∵y＝tanx为[－1,1]上的奇函数，∴y＝(tanx)11仍为奇函数，而y＝(cosx)21是偶函数，∴原式＝1－1(cosx)21dx＝201(cosx)21dx.故应选C.10．设f(x)是[a，b]上的连续函数，则abf(x)dx－abf(t)dt的值()A．小于零B．等于零C．大于零D．不能确定[答案]B学而思网校[解析]abf(x)dx和abf(t)dt都表示曲线y＝f(x)与x＝a，x＝b及y＝0围成的曲边梯形面积，不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置．所以其值为0.二、填空题11．由y＝sinx，x＝0，x＝π2，y＝0所围成的图形的面积可以写成________．[答案][解析]由定积分的几何意义可得．12.06(2x－4)dx＝________.[答案]12[解析]如图A(0，－4)，B(6,8)S△AOM＝12×2×4＝4S△MBC＝12×4×8＝16∴06(2x－4)dx＝16－4＝12.13．(2010·新课标全国理，13)设y＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分01f(x)dx.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分01f(x)dx的近似值为________．[答案]N1N[分析]本题考查了几何概型、积分的定义等知识，难度不大，但综合性较强，很好的考查了学生对积分等知识的理解和应用，题目比较新颖．[解析]因为0≤f(x)≤1且由积分的定义知：01f(x)dx是由直线x＝0，x＝1及曲线y＝f(x)与x轴所围成的面积，又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形面积为1，且满足yi≤f(xi)的有N1个点，即在函数f(x)的图象上及图象下方有N1个点，所以用几何概型的概率公式得：f(x)在x＝0到x＝1上与x轴围成的面积为N1N×1＝N1N，即01f(x)dx＝N1N.学而思网校三、解答题15．利用定积分的几何意义，说明下列等式．[解析](1)012xdx表示由直线y＝2x，直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的图形的面积，如图所示，阴影部分为直角三角形，所以S△＝12×1×2＝1，故012xdx＝1.(2)1－11－x2dx表示由曲线y＝1－x2，直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形面积(而y＝1－x2表示圆x2＋y2＝1在x轴上面的半圆)，如图所示阴影部分，所以S半圆＝π2，16．利用定积分的性质求2xx4＋1＋sin3x＋x2－ex－1ex＋1dx.[解析]y＝2xx4＋1，y＝sin3x均为[－1,1]上的奇函数，而对于f(x)＝ex－1ex＋1，∵f(－x)＝e－x－1e－x＋1＝1－ex1＋ex＝－f(x)，此函数为奇函数．学而思网校∵S＝i＝1n1n·in2＝1n3i＝1n(i)2＝1n3·16n(n＋1)(2n＋1)＝162＋3n＋1n2∴S＝limn→∞162＋3n＋1n2＝13即201x2dx＝2×13＝2317．已知函数f(x)＝)，求f(x)在区间[－2,2π]上的积分．[解析]由定积分的几何意义知＝π2－4.18．利用定积分的定义计算abxdx.[解析](1)分割：将区间[a，b]n等分，则每一个小区间长为Δxi＝b－an(i＝1,2，…，n)．(2)近似代替：在小区间[xi－1，xi]上取点：ξi＝a＋i(b－a)n(i＝1,2，…，n)．Ii＝f(ξi)·Δxi＝a＋i(b－a)n·b－an.(3)求和：In＝i＝1nf(ξi)·Δxi学而思网校＝i＝1na＋i(b－a)n·b－an＝b－ani＝1na＋i(b－a)n＝b－ani＝1na＋i＝1ni(b－a)n＝b－anna＋b－ani＝1ni＝(b－a)a＋b－an2·n(n＋1)2(4)求极限：abxdx＝limn→∞In＝limn→∞(b－a)a＋b－a21＋1n＝(b－a)a＋b2－a2＝12(b2－a2)．