第1章 行列式

第1章行列式行列式是线性代数的一个重要组成部分.它是研究矩阵、线性方程组、特征多项式的重要工具.本章介绍了n阶行列式的定义、性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应用——克莱姆法则.2第1章行列式n阶行列式的定义行列式的性质行列式按行（列）展开克莱姆法则—行列式的一个简单应用3第1.1节n阶行列式的定义返回教学目的：掌握二、三阶、n阶行列式定义，排列及其逆序数概念，转置行列式定义。教学重点：n阶行列式定义，排列及其逆序数概念。教学难点：n阶行列式定义，排列的逆序数求法。41.二阶与三阶行列式(1)二阶行列式22221211212111bxaxabxaxa的线性方程组考虑含有两个未知量21,xx为求得上述方程组的解，可利用加减消元得到：211112221122211122221121122211)()(ababxaaaaababxaaaa时，当021122211aaaa方程组有惟一解5.,211222112111122211222111222211aaaaababxaaaaababx上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得。为便于记忆，引进如下记号：2112221122211211aaaaaaaa称其为二阶行列式.DDxDDx2211，据此，解中的分子可分别记为：22111122221211,babaDababD方程组的解可表为时当,022211211aaaaD6例1解二元线性方程组解:方程组未知量的系数所构成的二阶行列式534532121xxxx0154)3(33431D155451,30353521DD方程组有惟一解.又于是方程组的解为.11515215302211DDxDDx，7(2)三阶行列式322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa称为三阶行列式.称为它的元素。（数)3,2,1,jiaij‘—’三元素乘积取“+”号；‘…’三元素乘积取“-”号。主对角线法8例2计算三阶行列式解:由主对角线法，有14243122421D411)2()2(2)3(2)4(4)2()4()3(12)2(21D482432649例3解线性方程组解：系数行列式162942263321321321xxxxxxxxx1516219422613,2011611921263,5512161491126321DDD方程组有惟一解.又于是方程组的解为.3515,452011555332211DDxDDxDDx，05121142113D10思考与练习（三阶行列式）1.方程化简为(x-1)2=4,其解为x=3或x=-1；94553532.216121111.1321321321xxxxxxxxxxx解线性方程组解方程06126114513312.2321DDDD0,1,2321xxx答案112.排列及其逆序数(1)排列由自然数1,2,…,n组成的一个有序数组i1i2…in称为一个n级排列.如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个：123132213231312321（总数为n!个）注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相反)——构成逆序.12(2)排列的逆序数定义：在一个n级排列i1i2…in中，若某两数的前后位置与大小顺序相反，即isit(ts)，则称这两数构成一个逆序。排列中逆序的总数，称为它的逆序数，记为(i1i2…in)。奇偶排列:若排列i1i2…in的逆序数为奇（偶）数，称它为奇（偶）排列。=3=2例4(2413)(312)例5(n(n-1)…321)(135…(2n-1)(2n)(2n-2)…42)=0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2=2+4…+(2n-2)=n(n-1)13对换：在一个排列i1…is…it…in中，若其中某两数is和it互换位置,其余各数位置不变得到另一排列i1…it…is…in,这种变换称为一个对换,记为(isit).例6)43(12430125)31(3421)42(14231234结论：①对换改变排列的奇偶性.②任意一个n级排列与标准排列12…n都可以经过一系列对换互变.14①的证明对换在相邻两数间发生，即设排列…jk…(1)经j,k对换变成…kj…(2)此时，排列(1)、(2)中j,k与其他数是否构成逆序的情形未发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化：若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1)若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1)一般情形设排列…ji1…isk…(3)经j,k对换变成…ki1…isj…(4)易知，(4)可由(3)经一系列相邻对换得到：k经s+1次相邻对换成为…kji1…is…j经s次相邻对换成为…ki1…isj…即经2s+1次相邻对换后(3)成为(4).相邻对换改变排列的奇偶性，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变.||15思考练习（排列的逆序数）1.(542163)2.(24…(2n-2)(2n)(2n-1)(2n-3)…31）答案1.92.1+3+...+(2n-1)=n2193.n阶行列式定义分析：(i)每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的乘积构成，除符号外可写为(ii)符号为322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa321321jjjaaa“+”123231312（偶排列）“-”321213132（奇排列）)(321)1(jjj(iii)项数为3！=6321321321)()1(jjjjjjaaa20推广之，有如下n阶行列式定义定义：n阶行列式是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积nnjjjaaa2121并冠以符号的项的和.)(21)1(njjjnnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnjjjjjjaaa212121)()1()(ijaDet记(i)是取自不同行、不同列的n个元素的乘积；(ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性决定每一项的符号；(iii)表示对所有的构成的n!个排列求和.nnjjjaaa2121njjj21)(21njjj21例4证明上三角行列式证：由定义nnnnnnaaaaaaaaaD221122211211000时，1,2,,1,121jjnjnjnn和式中,只有当nnnjjjjjjaaaD212121)()1(02121nnjjjaaannnnnaaaaaaD22112211)123()1(所以上三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积.22例5计算000000000000121nnD解11,21)321)1(()1(nnnnnaaaDnnn212)1()1(由行列式定义,时，1,2,,1,121nnjjnjnj02121nnjjjaaa和式中仅当nnnjjjjjjaaaD212121)()1(23由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中n个元素的顺序可以任意交换.一般，可以证明定理:n阶行列式D=Det(aij)的项可以写为nnnnjijijijjjiiiaaa22112121)()()1(niiiiiinnaaaD21)(2121)1(其中i1i2…in和j1j2…jn都是n级排列.nnnnjijijijjjiiiaaaD22112121)()()1(或另一定义形式另一定义形式推论:n阶行列式D=Det(aij)的值为244.转置行列式则,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD.212221212111nnnnnnTaaaaaaaaaD定义：如果将行列式D的行换为同序数的列，得到的新行列式称为D的转置行列式，记为DT.即若251.用定义计算000000000.2000100002000010.15544332222211111bababaedcbaedcbann0.2!)1(21)1(.11)123(DnnDnn思考练习（n阶行列式定义）答案262.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项。3.在六阶行列式|aij|中，下列各元素乘积应取什么符号？(1)a15a23a32a44a51a66(2)a11a26a32a44a53a65(3)a21a53a16a42a65a34思考练习（n阶行列式定义）27第1.2节n阶行列式的性质教学目的：掌握行列式的性质并用之求解行列式习题。教学重点：行列式性质2，3，4，5。教学难点：行列式性质3，4，5及怎么样利用性质求解习题。返回28性质1行列式与它的转置行列式相等.（D=DT）证：事实上,若记DT=Det(bij),则),,2,1,(njiabjiijnnnjjjjjjTbbbD212121)()1(Daaaniiiiiinn21)(2121)1(.00021222111nnnnaaaaaaDnnnnnnTaaaaaaaaaDD221122212111000解例1计算行列式29性质2互换行列式的两行(rirj)或列(cicj)，行列式的值变号.推论若行列式D的两行（列）完全相同,则D=0.性质3行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面，即nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212111211推论(1)D中一行(列)所有元素为零，则D=0；(2)D的两行(列)对应元素成比例，则D=0.30性质4若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和,则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同.即证nnnniniinnnnniniinnnnnininiiiinaaabbbaaaaaaaaaaaaaaabababaaaa21211121121211121121221111211niinnjijijjjjjjabaaaD)()1(212121)(ninninnjijjjjjjnjijjjjjjabaaaaaa2121212121)(21)()1()1(21DD31性质5行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以数k加到另一行(列)的相应元素上,行列式的值不变,即nnnnjninjijinkrrnnnniniinaaakaakaakaaaaaaaaaaaaaaji21221111211212111211)(DDjikrr32例2计算行列式3111131111311113)3(5240432323214232)2(415132321)1(DD解415132321)1(D119051032112