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1圆的有关概念和性质(1)圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．2、圆的对称性：②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条的直线；圆是中心对称图形，对称中心为．（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．如图，∵CD是圆O的直径，CD⊥AB于E∴=，=③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．④三角形的内心和外心ⓐ：确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心ECOABD22.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．（3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（4）圆内接四边形：顶点都在国上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．、知识点1、与圆有关的角——圆心角、圆周角（1）图中的圆心角；圆周角；（2）如图，已知∠AOB=50度，则∠ACB=度；（3）在上图中，若AB是圆O的直径，则∠AOB=度；3、点和圆的位置关系有三种：点在圆，点在圆，点在圆；例：已知圆的半径r等于5厘米，点到圆心的距离为d，（1）当d=2厘米时，有dr，点在圆（2）当d=7厘米时，有dr，点在圆（3）当d=5厘米时，有dr，点在圆4、直线和圆的位置关系有三种：相、相、相．例：已知圆的半径r等于12厘米，圆心到直线l的距离为d，（1）当d=10厘米时，有dr，直线l与圆（2）当d=12厘米时，有dr，直线l与圆（3）当d=15厘米时，有dr，直线l与圆OACB35、圆与圆的位置关系：例：已知⊙O1的半径为6厘米，⊙O2的半径为8厘米，圆心距为d，则：R+r=，R－r=；（1）当d=14厘米时，因为dR+r，则⊙O1和⊙O2位置关系是：（2）当d=2厘米时，因为dR－r，则⊙O1和⊙O2位置关系是：（3）当d=15厘米时，因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是：（4）当d=7厘米时，因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是：（5）当d=1厘米时，因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是：6、切线性质：例：（1）如图，PA是⊙O的切线，点A是切点，则∠PAO=度（2）如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B是切点，则=，∠=∠；7、圆中的有关计算（1）弧长的计算公式：例：若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的弧长是多少？解：因为扇形的弧长=()180所以l=()180=(答案保留π)OBPA4（2）扇形的面积：例6：①若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的面积为多少？（3）圆锥：例：圆锥的母线长为5cm，半径为4cm，则圆锥的侧面积是多少？解：∵圆锥的侧面展开图是形，展开图的弧长等于∴圆锥的侧面积=8、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的交点；三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的交点；知识点复习：1．在同圆或等圆中，如果在两条弦、两条弧、两个圆心角中有_____组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。2.垂径定理：垂直于弦的直径_____________这条弦，并且平分弦所对的两条_______。3.垂径定理的逆定理：平分弦（不是__________）的直径__________这条弦，并且平分弦所对的两条___4.圆周角与圆心角的关系：一条弧所对的__________等于这条弧所对的__________的一半。___________________所对圆周角相等。在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的______相等。直径所对的圆周角是________，____________的圆周角所对弦是直径。55．圆的切线⑴判定：经过直径________，并且与这条直径_____________的直线是圆的切线。⑵性质：圆的切线垂直于___________的直径。6．三角形的外心________________________确定一个圆。经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的_____________，它的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三角形的_____________________________的交点。7．三角形的内心与三角形的三边都_______的圆叫做三角形的________圆，它的圆心叫做三角形的内心；三角形的内心是三角形的三条________________________的交点。㈡和圆有关的位置关系8．点和圆的位置关系：有三种。设圆的半径为r，_______________________的距离为d，则⑴点在圆内_______________；⑵点在圆上_______________；⑶点在圆外_____________________。9．直线和圆的位置关系：有三种。设圆的半径为r，_______________________的距离为d，则⑴直线和圆没有公共点直线和圆_______________d_____r；⑵直线和圆有惟一公共点直线和圆_______________d_____r；⑶直线和圆有两个公共点直线和圆_______________d_____r.㈢与圆有关的计算：11.⑴弧长公式：l＝______________（已知弧所对的圆心角度数为nº，所在圆的半径为R）⑵设扇形的圆心角度数为nº，所在圆的半径为R，弧长为l，则扇形的周长为C＝____________；面积S＝_______________＝_______________⑶设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l。则l2＝r2＋h2；圆锥侧面积S侧＝_________________;全面积S全＝_________________________6⑷设圆柱的底面半径为r，高为h，母线长为l。则l＝h；圆柱侧面积S侧＝_________________;全面积S全＝_________________________圆的练习一、选择题1.下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等．其中真命题的是（）A.①②B.②③C.①③D.①②③2.下列命题中，正确的个数是（）⑴直径是弦，但弦不一定是直径；⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑶半径相等的两个圆是等圆；⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.A.1个B.2个C.3个D.4个3.如果两个圆心角相等，那么（）A.这两个圆心角所对的弦相等B.这两个圆心角所对的弧相等C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D.以上说法都不对4.⊙O中，∠AOB=∠84°，则弦AB所对的圆周角的度数为（）A.42°B.138°C.69°D.42°或138°5.如图，已知A、B、C是⊙O上的三点，若∠ACB=44°．则∠AOB的度数为（）A．44°B．46°C．68°D．88°6.如图，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，7那么下列结论中，错误的是（）A.CE=DEB.C.∠BAC=∠BADD.AC＞AD7.如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A.4B.6C.7D.88.如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A.140°B.110°C.120°D.130°9.如图，⊙O的直径CD垂直于弦EF，垂足为G，若∠EOD=40°,则∠DCF等于（）A.80°B.50°C.40°D.20°10.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围（）A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3＜OM＜5D．4＜OM＜5二、填空题1.如图，AB为⊙O直径，E是中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____.2.如图，⊙O中，若∠AOB的度数为56°，∠ACB=_________.3.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BDC=25°，则∠BOC=________.84.如图，等边ΔABC的三个顶点在⊙O上，BD是直径，则∠BDC=________，∠ACD=________.若CD=10cm，则⊙O的半径长为________.5.如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠ACB的角平分线CD交⊙O于D，则∠ABD=______度．6.（山西）如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点.有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门.仅从射门角度考虑，应选择________种射门方式.三、解答题1.如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM⊥CD，分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由.2.如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND9⊥AB，M、N在⊙O上.(1)求证：=；(2)若C、D分别为OA、OB中点，则成立吗？3.如图，已知AB=AC，∠APC=60°(1)求证：△ABC是等边三角形.(2)若BC=4cm，求⊙O的面积.一、选择题1.如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是()A.AB⊥CDB.∠AOB=4∠ACDC.D.PO=PD2.如图，⊙O中，如果=2，那么()A.AB=ACB.AB=2ACC.AB＜2ACD.AB＞2AC3.如图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是()A.∠4＜∠1＜∠2＜∠3B.∠4＜∠1=∠3＜∠2C.∠4＜∠1＜∠3＜＜∠2D.∠4＜∠1＜∠3=∠24.如图，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，10则BC等于()A.3B.3+C.5-D.5二、填空题1.P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；最长弦长为_______.2.如图，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______(只需写一个正确的结论).3.如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________.4.半径为2a的⊙O中，弦AB的长为，则弦AB所对的圆周角的度数是________.5.如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______.三、解答题1.如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长.2.如图，∠AOB=90°，C、D是三等分点，AB分别交OC、OD于点E、11F，求证：AE=BF=CD.3.如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO=120°.(1)求证：AB为⊙C直径.(2)求⊙C的半径及圆心C的坐标.答案与解析基础达标一、选择题1.A2.C3.D4.D5.D6.D7.D8.D9.D10.A二、