11第11讲一元二次方程

第11讲一元二次方程本讲重点：一元二次方程的解法及其应用.【考点链接】1．一元二次方程：在整式方程中，只含个未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是.其中叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项；叫做二次项的系数，叫做一次项的系数.2.一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2aax或)0()(2aabx的一元二次方程，就可用直接的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程02aocbxax的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()xmn的形式，⑤如果是非负数，即0n，就可以用求出方程的解.（3）公式法：一元二次方程20(0)axbxca的求根公式是2,1x（042acb）.（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.【典例探究】考点1一元二次方程及其解的概念『例1』（1）（2012兰州模拟）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．2210xxB．20axbxcC．(1)(2)1xxD．223250xxyy（2）（2012贵州安顺）已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）A．1B．﹣1C．0D．无法确定（3）（2012滨州模拟）若x=2是关于x的方程2250xxa的一个根，则a的值为_____.『解析』（1）A，由原方程，得x4+1=0，未知数的最高次数是4；故本选项错误；B，当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；C，由原方程，得x2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；D，方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C．（2）根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1．故选B．（3）把x=2代入方程x2-x-a2+5=0得4-2-a2+5=0，解得：a=±7．『备考兵法』对于方程ax2＋bx＋c＝0，只有当a≠0时，才叫做一元二次方程.因此，如果明确指出ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程，那就一定包括a≠0这个条件.例如：对于方程(a-1)x2-bx+c＝0，当a≠1时，方程是一元二次方程，当a=1且b≠0时，方程是一元一次方程．考点2一元二次方程的解法『例2』（教材例题变式题）解下列方程：(1)27)1(32x；(2)x2－6x－19＝0；(3)3x2＝4x＋1；(4)y2－15＝2y；(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2.『解析』方程(1)用直接开平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了.(1)(1－x)2＝9，(x－1)2＝3，x－1＝±3，∴x1＝1＋3，x2＝1－3.(2)移项，得x2－6x＝19，配方，得x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2，(x－3)2＝28，x－3＝±27，∴x1＝3＋27，x2＝3－27.(3)移项，得3x2－4x－1＝0，∵a＝3，b＝－4，c＝－1，∴x＝37232)1(34)4()4(2,∴x1＝372,3722x.(4)移项，得y2－2y－15＝0，把方程左边因式分解，得(y－5)(y＋3)＝0；∴y－5＝0或y＋3＝0，∴y1＝5，y2＝－3.(5)将方程左边因式分解，得(x－3)［5x－(x＋1)］＝0，(x－3)(4x－1)＝0，∴x－3＝0或4x－1＝0，∴x1＝3，x2＝41.(6)移项，得4(3x＋1)2－25(x－2)2＝0，［2(3x＋1)］2－［5(x－2)］2＝0，［2(3x＋1)＋5(x－2)］·［2(3x＋1)－5(x－2)］＝0，(11x－8)(x＋12)＝0，∴11x－8＝0或x＋12＝0，∴x1＝118，x2＝－12.『备考兵法』在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程.但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便.因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解.配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法.而在以后的学习中，会常常用到配方法，所以要掌握这个重要的数学方法.考点3一元二次方程的应用『例3』（2012山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？『解析』（1）设每千克核桃应降价x元．根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240．化简，得x2﹣10x+24=0,解得x1=4，x2=6．答：每千克核桃应降价4元或6元．（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．此时，售价为：60﹣6=54（元），．答：该店应按原售价的九折出售．『备考兵法』列一元二次方程解应用题的关键在于审题和分析题中的数量关系．(1)审题要弄清已知量与未知量之间的内在联系．(2)分析等量关系时，从多角度来考虑．注意：正确求解方程后要检验解的合理性．【当堂过关】1.（2012乌鲁木齐模拟）关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a的值为（）A、－1B、0C、1D、－1或1『解析』把x＝0代入方程得：|a|－1＝0，∴a＝±1，∵a－1≠0，∴a＝－1．『答案』A2.（2012荆门）用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是（）A．（x﹣1）2=4B．（x+1）2=4C．（x﹣1）2=16D．（x+1）2=16『解析』把方程x2﹣2x﹣3=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=3+1，配方得（x﹣1）2=4．『答案』A3.（2012常德）若一元二次方程022mxx有实数解，则m的取值范围是（）A.1-mB.1mC.4mD.21m『解析』一元二次方程022mxx有实数解，则△≥0，然后再解不等式.『答案』B4.(2012•兰州)某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为()A．x(x－10)＝200B．2x＋2(x－10)＝200C．x(x＋10)＝200D．2x＋2(x＋10)＝200『解析』∵花圃的长比宽多10米，花圃的宽为x米，∴长为(x＋10)米，∵花圃的面积为200，∴可列方程为x(x＋10)＝200．『答案』C5.（2012成都）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．100(1)121xB．100(1)121xC．2100(1)121xD．2100(1)121x『解析』根据题意得：2100(1)121x.『答案』C6.（2012滨州）方程x（x﹣2）=x的根是．『解析』原方程可化为x（x﹣2）﹣x=0，x（x﹣2﹣1）=0，x=0或x﹣3=0，解得：x1=0，x2=3．『答案』x1=0，x2=37.（2012兰州模拟）关于x的方程2()0axmb的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程2(2)0axmb的解是.『解析』∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1．『答案』x1=﹣4，x2=﹣18.（2012常州模拟）已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则m=，另一个根是．『解析』根据题意，得4+2m﹣6=0，即2m﹣2=0，解得，m=1；x2=﹣3．『答案』1,﹣39.（1）（2012无锡）解方程：x2﹣4x+2=0（2）（2012南京市模拟）解方程x2－4x＋1=0.解：（1）△=42﹣4×1×2=8，∴，∴，.（2）解法一：移项，得241xx．配方，得24414xx，2(2)3x，由此可得23x，123x，223x.解法二：1,4,1.abc224(4)411120bac，41223.2x123x，223x．10.（2012湘潭）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．【浙江两年中考】1.（2011年嘉兴、舟山市）一元二次方程0)1(xx的解是（）（A）0x（B）1x（C）0x或1x（D）0x或1x『解析』一元二次方程0)1(xx的解是0x或1x.『答案』C2.（2011年衢州市）方程0x2x2的解为___________________.『解析』0)2(xx.『答案』2021xx，3.（2010年舟山市）已知x=2是一元二次方程（04)222mxxm的一个根，则m的值是.『解析』把x=2代入方程（04)222mxxm.『答案』4，04.（2012温州）解方程：x²－2x=5.解：配方解得616121xx，.5.（2012绍兴）小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索.【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，则B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1=222.50.70.42而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由2221111BCACAB得方程，解方程得x1=，x2=，∴点B将向外移动米.（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题.解：（1）222(x0.7)22.5；0.8，﹣2.2（舍去）；0.8.（2）①不会是0.9米，理由如下：若AA1=BB1=0.9，则A1C=2.4﹣0.9=1.5，B1C=0.7+0.9=1.6，1.52+1.62=4.81，2.52=6.25，∵2221111BCACAB，∴该题的答案不会是0.9米.②有可能.理由如下：设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有222(x0.7)(2.4x)2.5，解得：x=1.7或x=0（舍去）.∴当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC