11第十一章3积分变换法求解定解问题

第十五章积分变换法求解定解问题１5.１傅里叶变换法解数学物理定解问题用分离变量法求解有限空间的定解问题时，所得到的本征值谱是分立的，所求的解可表为对分立本征值求和的傅里叶级数．对于无限空间，用分离变量法求解定解问题时，所得到的本征值谱一般是连续的，所求的解可表为对连续本征值求积分的傅里叶积分．因此，对于无限空间的定解问题，傅里叶变换是一种很适用的求解方法．本节将通过几个例子说明运用傅里叶变换求解无界空间（含一维半无界空间）的定界问题的基本方法，并给出几个重要的解的公式．下面的讨论我们假设待求解的函数u及其一阶导数是有限的．15.1.1弦振动问题例15.1.1求解无限长弦的自由振动定解问题（假定：函数u及其一阶导数是有限的，以后不再特别指出．这一定解问题在行波法中已经介绍，读者可以比较行波解法和傅氏解法）2000,()|()|()ttxxtttuauxuxux【解】应用傅里叶变换，即用ixe遍乘定解问题中的各式，并对空间变量x积分（这里把时间变量看成参数），按照傅里叶变换的定义，我们采用如下的傅氏变换对：ii(,)(,)d1(,)(,)d2πxxUtuxtexuxtUte简化表示为[(,)](,)uxtUtF对其它函数也作傅氏变换，即为()()[][(])()xxFF于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题222200((,)0(,)|(,))(|)tttUaUttUtUt上述常微分方程的通解为ii(,)()()atatUtAeBe代入初始条件可以定出111()()()22i111()()()22iAaBa这样iiii1111(,)()()()()22i22i()()cos()sin()atatatatUteeeeaaatata最后，上式乘以12π并作逆傅氏变换．应用延迟定理和积分定理得到11(,)[()()]()d22xatxatuxtxatxata这正是前面学过的的达朗贝尔公式.15.1.2热传导问题例15.1.3求解无限长细杆的热传导（无热源）问题200,(,0)|()txxtuauxtux【解】作傅氏变换，[(,)](,)uxtUtF[()]()xF定解问题变换为22(,)0(,0)()UaUtU常微分方程的初值问题的解是22(,)()atUte再进行逆傅里叶变换，22221iii1(,)[(,)]()d2π1[()d]d2πatxatxuxtUteeeeeF交换积分次序得22i()1(,)()[d]d2πatxuxtee引用积分公式22224πd()eee且令,i()atx以便利用积分公式，即得到22()41(,)()[]d2πxatuxtaet15.1.3稳定场问题我们先给出求半平面内(0)y拉普拉斯方程的第一边值问题的傅氏变换系统解法（读者可以与格林函数解法进行比较）例15.1.5定解问题x0(,0)(,0)()lim(,)0xxyyuuxyuxfxuxy【解】对于变量x作傅氏变换，有1[(,)](,),[()]()uxyUyfxFFF定解问题变换为常微分方程222(,)0,(,0)()lim(,)0UUyyUFUy因为可取正、负值，所以常微分定解问题的通解为||||(,)()()yyUxyCeDe因为lim(,)0Uy，故得到()0,()()CDF常微分方程的解为||(,)()yUyFe设||(,)yGye根据傅氏变换定义，||ye的傅氏逆变换为0||iii22011111d[dd][]2π2π2πiiπ()yxyxyxyeeeeyxyxxy再利用卷积公式1[()()]()()dFGfgxF最后得到原定解问题的解为22()(,)dπ()yfuxyxy容易看出与格林函数解出的结果具有相同的表示式．15.2拉普拉斯变换解数学物理定解问题由于要作傅氏变换的函数必须定义在),(上，故当我们讨论半无界问题时，就不能对变量x作傅氏变换了．由此本节介绍另一种变换法：拉普拉斯变换法求解定解问题．15.2.1无界区域的问题例15.2.1求解无限长细杆的热传导（无热源）问题20(,),(,0)|()txxtuaufxtxtux(15.2.1)【解】先对时间t作拉氏变换[(,)](,),[(,)](,)uxtUxpfxtFxpLL[(,)](,)(,0)(15.2.2)LtuxtpUxpux由此原定解问题中的泛定方程变为22222d11()(,)0(15.2.3)dUpUxFxpxaaa对方程(15.2.3)实施傅氏逆变换来进行求解.利用傅氏逆变换公式1222πbxbebF以及卷积定理-1()()()()dFGfxgF得方程(15.2.3)的解为11(,)()d(,)d22ppxxaaUxpeFpeapap(15.2.4)对(15.2.4)式作拉氏逆变换,并查阅拉氏变换表，得原定解问题(15.2.1)的解为222201()(,)()expd42π1()(,)expdd(15.2.5)4()2π()txuxtatatxfatat