1高考复习指导讲义第十一章参数方程、极坐标一、考纲要求1.理解参数方程的概念,了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义,掌握参数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数,依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程,会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构1.直线的参数方程(1)标准式过点Po(x0,y0),倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是atyyatxxsincos00(t为参数)(2)一般式过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=ab的直线的参数方程是btyyatxx00(t不参数)②在一般式②中,参数t不具备标准式中t的几何意义,若a2+b2=1,②即为标准式,此时,|t|表示直线上动点P到定点P0的距离;若a2+b2≠1,则动点P到定点P0的距离是22ba|t|.直线参数方程的应用设过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是atyyatxxsincos00(t为参数)若P1、P2是l上的两点,它们所对应的参数分别为t1,t2,则(1)P1、P2两点的坐标分别是(x0+t1cosα,y0+t1sinα)(x0+t2cosα,y0+t2sinα);(2)|P1P2|=|t1-t2|;(3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t,则t=221tt中点P到定点P0的距离|PP0|=|t|=|221tt|(4)若P0为线段P1P2的中点,则t1+t2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆圆心在(a,b),半径为r的圆的参数方程是sincosrbyrax(φ是参数)φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角,φ∈[0,2π](见图)(2)椭圆椭圆12222byax(a>b>0)的参数方程是sincosbyax(φ为参数)椭圆12222byay(a>b>0)的参数方程是sincosaybx(φ为参数)椭圆21)()(220220byyaxx(0ba)的参数方程是sincos00byyaxx(为参数)的几何意义为“离心角”3)双曲线的参数方程(ⅰ)双曲线12222byax的参数方程为btgyaxsec(为参数)(ⅱ)双曲线1)()(220220byyaxx的参数方程是btgyyaxx00sec(为参数)的几何意义为“离心角”抛物线的参数方程pxy22(p0)的参数方程为ptyptx222(t为参数)其中t的几何意义是抛物线上的点与原点连线的斜率的倒数(顶点除外).3.极坐标极坐标系在平面内取一个定点O,从O引一条射线Ox,选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系,O点叫做极点,射线Ox叫做极轴.①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向,构成了极坐标系的四要素,缺一不可.点的极坐标设M点是平面内任意一点,用ρ表示线段OM的长度,θ表示射线Ox到OM的角度,那么ρ叫做M点的极径,θ叫做M点的极角,有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;②极轴与x轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式'sincosyx)0(222xxytgyx1.直线的极坐标方程:若直线过点00(,)M,且极轴到此直线的角为,则它的方程为:00sin()sin()几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴(3)直线过(,)2Mb且平行于极轴方程:(1))R(或写成及(2)acos(3)ρsinθ=b2.圆的极坐标方程:若圆心为00(,)M,半径为r的圆方程为:2220002cos()0r3几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点,r为半径r过原点的圆(2)当圆心位于)0,(aC(a0),a为半径cos2a(3)当圆心位于)2,(aC)0(a,a为半径sin2a=2acos(θ-π/2)(4)当圆心位于C(a,α),a为半径ρ=2acos(θ-α)7.在极坐标系中,)0(表示以极点为起点的一条射线;)R(表示过极点的一条直线.三、知识点、能力点提示(一)曲线的参数方程,参数方程与普通方程的互化例1在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B,使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.解:将圆的方程化为参数方程:sin51cos52yx(为参数)则圆上点P坐标为(2+5cos,1+5sin),它到所给直线之距离d=223430sin15cos120故当cos(φ-θ)=1,即φ=θ时,d最长,这时,点A坐标为(6,4);当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时,d最短,这时,点B坐标为(-2,2).(二)极坐标系,曲线的极坐标方程,极坐标和直角坐标的互化(三)综合例题赏析例3椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin51cos3yx()A.(-3,5),(-3,-3)B.(3,3),(3,-5)C.(1,1),(-7,1)D.(7,-1),(-1,-1)应选B.3+3cos例4参数方程表示)20()sin1(212sin2cosyxA.双曲线的一支,这支过点(1,21)B.抛物线的一部分,这部分过(1,21)C.双曲线的一支,这支过(-1,21)D.抛物线的一部分,这部分过(-1,21)∴应选B.例5在方程cossinyx(θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是()4A.(2,-7)B.(31,32)C.(21,21)D.(1,0)∴应选C.cos2o例6下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是()A.tytxB.tytx2coscosCttytgtx2cos12cos1D.ttytgtx2cos12cos1解:普通方程x2-y中的x∈R,y≥0,A.中x=|t|≥0,B.中x=cost∈〔-1,1〕,故排除A.和B.C.中y=tt22sin2cos2=ctg2t=2211xttg=,即x2y=1,故排除C.∴应选D.例7曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化成直角坐标方程为()A.x2+(y+2)2=4B.x2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4解:将ρ=22yx,sinθ=22yxy代入ρ=4sinθ,得x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4.例8极坐标ρ=cos(4)表示的曲线是()A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆应选D.例104ρsin22=5表示的曲线是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解:4ρsin22=54ρ·.5cos2221cos把ρ=22yxρcosθ=x,代入上式,得222yx=2x-5.平方整理得y2=-5x+.425.它表示抛物线.∴应选D.例11极坐标方程4sin2θ=3表示曲线是()A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线解:由4sin2θ=3,得4·222yxy=3,即y2=3x2,y=±x3,它表示两相交直线.∴应选B.