12-13II概率论与数理统计试卷(A)64学时参考答案

1||||||||装|||||订||||||线||||||||防灾科技学院2012~2013年第二学期期末考试概率论与数理统计试卷（A）参考答案与评分标准使用班级本科64学时班答题时间120分钟题号一二三四五总分阅卷教师得分一、填空题（本大题共7小题，每题3分，共21分）1、已知(),(),PBbPABc且bc，则()PBAb-c；2、一部4卷的文集随机地排放在书架上，卷号恰好是自左向右或自右向左的呈1、2、3、4排列的概率是1/12；3、若6.0)(,4.0)(,5.0)(BAPBPAP，则)(ABP0.6；4、根据历史地震资料分析，某地连续两次强震之间时间间隔的年数X是一随机变量，其分布函数为0.11,0,()0,0.xexFxx现在该地刚发生了一次强震，则今后三年内再次发生强震的概率为0.31e；5、本次考试共有7个选择题，每题有四个选项，其中只有一个为正确选项。同学甲一题都不会，遂决定采取随便“蒙”的方法选答案。若以X表示该同学“蒙”对答案的题数，则()EX=7/4；6、设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计})(E{2XXP____1/2____；7、设总体X服从参数10的泊松（Poisson）分布，现从该总体中随机地选出容量为20的一个样本，则该样本的样本均值X的方差()DX=1/2；二、单项选择题（本大题共7小题，每题3分，共21分）8、设ABC、、为三个事件，则事件“ABC、、都不发生”可表示为(C)(A)ABC；(B)1ABC；(C)ABC；(D)ABC.9、设()0.8,()0.7,(|)0.8,PAPBPAB则下列结论正确的是（A）(A)A与B相互独立；(B)A与B互斥；(C)BA；(D)()()()PABPAPB.10、若X服从标准正态分布)1,0(N，则)1|(|XP=（B）(A)1)1(2；(B))]1(1[2；(C))1(2；(D))1(21.11、设二维离散型随机变量(,)XY的联合概率分布为XY123123c1/61/61/61/121/61/121/6c则c=（A）(A)0；(B)16；(C)112；(D)124.12、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面朝上和反面朝上的次数，则X和Y的相关系数为（A）(A)-1；(B)0；(C)1/2；(D)1.13、设样本4321,,,XXXX为来自总体)1,0(N的样本，243221)(XXXCXY，若Y服从自由度为2的2分布，则C（B）(A)3；(B)1/3；(C)0；(D)-3.14、设21，是参数的无偏估计、)()(21DD且相互独立，以下估计量中最有效的是（D）)(A21；)(B21；)(C213231；)(D212121.阅卷教师得分阅卷教师得分试卷序号：班级：学号：姓名：2三、解答题（本大题共6小题，每题7分，共42分）15、据美国的一份资料报导，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中约有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，试求：(1)不吸烟者患肺癌的概率是多少？(2)如果某人查出患有肺癌，那么他是吸烟者的可能性有多大？解：设A=“吸烟”，C=“患肺癌”，则P()0.001,()0.2,(|)0.004CPAPCA……………………（2分）于是(1)由全概率公式得PCPCAPAPCAPA()()()(|)()=+即0.0010.0040.2(|)0.8PCA……………………（2分）得(|)0.00025PCA……………………（1分）(2)由贝叶斯公式得020004080001PCAPAPACPC()(..().().´===……………………（2分）16、设随机变量X的分布函数为011xFxxxeAxe,,()ln,,,.ìïïïï=?íïï³ïïî试求：(1)常数A；（2）X的概率密度fx()；（3）522032PXPXPX(),(),().?解：（1）()1F得1A……………………（2分）（2）110xxefx,,(),.其他ìïï=íïïî……………………（2分）(3)(2)(2)(2)ln2PXPXF；(03)(3)(0)1PXFF555224(2)()(2)lnPXFF……………………（3分）17、设随机变量X具有概率密度.,,,,,)(其他020410121xxxfX令2YX,求随机变量Y的概率密度()Yfy.解：2()()()YFyPYyPXy…………………（1分）当0y时，()0YFy………………（1分）当01y时，03112440()()yYyFyPyXydydyy；…（1分）当14y时，1142()()YFyPyXyy；…………………（1分）当4y时，()1YFy；………………………（1分）所以，0,0,3,01,4()11,14,4214.YyyyFyyyy3,01,81()(),14,80,.YYyyfyFyyy其他……（2分）注：能写出()YFy即可给分，分布函数求解过程中步骤不全可酌情给分。18、设二维随机变量具有联合概率密度221,1,(,)0,.xyfxy其他求：（1）边缘概率密度()()XYfxfy、；（2）条件概率密度|(|)Xyfxy；（3）XY、是否相互独立?解：（1）22121211,11,()(,)0,.xxXdyxxfxfxydy其他……（2分）阅卷教师得分322121211,11,()(,)0,.yyYdxyyfyfxydx其他……（2分）（2）当11y时，122222|1,11,(,)(|)121()0,.XYYyxyfxyfxyyyfy其他……（2分）（3）因为(,)()()XYfxyfxfy所以XY、不独立.……（1分）19、设二维随机变量(,)XY的联合分布律为XY12101/321/31/3求()()()()(,).EXEYEXYDXCovXY、、、、解：512333()12EX……（1分）512333()12EY……（1分）81113333()0224EXY……（2分）2221233()123EX……（1分）2229()()()DXEXEX……（1分）19(,)()()()CovXYEXYEXEY……（1分）20、某校大一新生中90%的年龄不小于18岁。现从这些新生中随机地抽查300名，试利用极限定理近似计算其中至少有30名小于18岁的概率。（已知9987.0)3(,9772.0)5.2(,5000.0)0(，根据需要选用。）解：因为新生中90%的年龄不小于18岁，所以任取一名学生其小于18岁的概率为0.1，设X为300名新生中小于18岁的人数，则)1.0,300(~bX，分布律为kkkkXP3009.01.0300}{，.300,,1,0k30)(XE，27)(XD，…（3分）用棣莫佛-拉普拉斯定理，5000.05000.01)0(1}2730302730{1}30{1}30{XPXPXP………………（4分）四、填表题（本大题共1小题，共8分。）21、设随机变量XY、相互独立，下表列出了二维随机变量(,)XY联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处，要求说明推导过程。YX1y2y3y()iiPXxp1x812x81()jjPYyp611解：YX1y2y3y()iiPXxp1x1/24811/121/42x813/81/43/4()jjPYyp611/21/31注：每填对一空给一分，共8分。阅卷教师得分4五、选做题（以下两题任选一题解答，若两题都做按第一题解答评分，共8分）选做22(1)、设总体的概率密度为1,01,(,)0,.xxfx其他0为未知参数，12,,,nXXX为来自总体的一个样本，求未知参数的矩估计和极大似然估计量.解：先求矩估计1110()1EXxxdx……（2分）211()1故的矩估计量为2ˆ()1XX。……（2分）再求极大似然估计对120,,,1nxxx有1/21111()(;)()()nnnniiiiiiLfxxx21ln()ln(1)lnnniiLx……（2分）令ln()0ddL得的最大似然估计量为221ˆ(ln)niinX……（2分）选做22(2)、设随机变量(,)XY的概率密度为,01,01,(,)0,.xyxyfxy其他求ZXY的概率密度()Zfz。解：011(),01,()(,)(),120,.zZzxzxdxzfzfxzxdxxzxdxz其他……（5分）22,01,2,12,0,.zzzzz其他……（3分）注：利用分布函数法先求分布函数再求密度函数可对照给分，考生能给出分段区间即可给3分，其他方法可酌情给分。阅卷教师得分