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第三章3．2.1古典概型思路方法技巧命题方向1基本事件个数的计算1.列举法列举法也称枚举法．对于一些情境比较简单，基本事件个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举即可得出随机事件所含的基本事件数．但列举时必须按一定顺序，做到不重不漏．2．列表法对于试验结果不是太多的情况，可以采用列表法．通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以便更直接地找出基本事件个数．列表法的优点是准确、全面、不易遗漏．3．树形图法树形图法是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的探究．[例1]将一枚骰子先后抛掷两次，则：(1)一共有几个基本事件？(2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件？[解析]解法一(列举法)：(1)用(x，y)表示结果，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数，则试验的所有结果为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．共36个基本事件．(2)“现出的点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．解法二(列表法)：如下图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应．(1)由图知，基本事件总数为36.(2)总数之和大于8包含10个基本事件(已用虚线圈出)．解法三(树形图法)：一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图表示．如下图所示：(1)由图知，共36个基本事件．(2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用“√”标出)．规律总结：要写出所有的基本事件可采用的方法较多．例如，列举法、列表法、树形图法，但不论采用哪种方法，都要按一定的顺序进行，做到不重漏．一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出两个球．(1)共有多少个基本事件？(2)两个都是白球包含几个基本事件？[分析]由题目可获取以下主要信息：①本摸球事件中共有5个球，其中3个白球，2个黑球．②题目中摸球的方式为一次摸出两个球，每个球被摸取是等可能的．解答本题可先列出摸出两球的所有基本事件，再数出均为白球的基本事件数．[解析](1)方法一：采用列举法：分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，有以下基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10个(其中(1,2)表示摸到1号，2号球)．方法二：采用列表法：设5个球的编号为：a、b、c、d、e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：abcdea(a，b)(a，c)(a，d)(a，e)b(b，a)(b，c)(b，d)(b，e)c(c，a)(c，b)(c，d)(c，e)d(d，a)(d，b)(d，c)(d，e)e(e，a)(e，b)(e，c)(e，d)由于每次取两个球，每次所取两个球不相同，而摸(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本事件．(2)方法一中“两个都是白球”包括(1,2)，(1,3)，(2,3)三种．方法二中包括(a，b)，(b，c)，(c，a)三种.命题方向2古典概型的判定[例2]下列概率模型中，是古典概型的个数为()(1)从区间[1,10]内任取一个数，求取到1的概率；(2)从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率；(3)在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率；(4)向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率．A．1B．2C．3D．4[分析]判断一个概率模型是否是古典概型，关键是看它是否满足两个条件：①有限性；②等可能性．[解析]第1个概率模型不是古典概型，因为从区间[1,10]内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以不满足“有限性”．第2个概率模型是古典概型，因为试验结果只有10个，而且每个数被抽到的可能性相等，即满足有限性和等可能性；第3个概率模型不是古典概型，而是以后将学的几何概型；第4个概率模型也不是古典概型，因为硬币不均匀，因此两面出现的可能性不相等．故选A.[答案]A下列概率模型是否为古典概型．(1)袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球，有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件，是否为古典概型？(2)将一粒豆子随机撒在一张桌子的桌面上，将豆子所落的位置看作一个基本事件，是否是古典概型？(3)一名射击运动员射击，把击中的环数看成基本事件，是否是古典概型？[分析]判断一概率模型是否为古典概型，关键是看是否满足古典概型的特点：有限性与等可能性．[解析](1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法，又因为所有球大小相同，因此每个球被摸到的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型.(2)由豆子落在桌面上的位置有无数个，即有无数个基本事件，所以以豆子所落的位置为基本事件的概率模型不是古典概型．(3)由于运动员击中每一环的可能性不同，故以击中的环数为基本事件的概率模型不是古典概型．建模应用引路命题方向3古典概型概率的求法1.对于古典概型，任何事件A的概率为：P(A)＝A包含的基本事件的个数m基本事件的总数n.2．求古典概型概率的步骤为：(1)判断是否为古典概型；(2)算出基本事件的总数n；(3)算出事件A中包含的基本事件个数m；(4)算出事件A的概率，即P(A)＝mn.在运用公式计算时，关键在于求出m，n.在求n时，应注意这n种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错．3．对于事件总数较多的情况，在解题时，没有必要一一列举出来，只将我们解题需要的列举出来分析即可．4．处理较复杂事件的概率时，往往结合互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率公式求解．[例3]先后抛掷两枚骰子，观察向上的点数，则：(1)所得点数之和是3的概率是多少？(2)所得点数之和是3的倍数的概率是多少？(3)所得点数之和不是3的倍数的概率是多少？[解析]掷一枚骰子的结果有6种．由于第一枚骰子的每一个结果都可与第二枚骰子的任意一个结果配对，组成先后抛掷两枚骰子的一个结果，因此先后抛掷两枚骰子的结果共有36种．(1)事件“所得点数之和为3”记为A，共有两种结果：“第一枚点数为1，第二枚点数为2”和“第一枚点数为2，第二枚点数为1”，故所求概率为P(A)＝236＝118.(2)所得点数之和是3的倍数的结果有(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)，共12种．记“向上的点数之和是3的倍数”为事件B，则事件B的结果有12种，故所求的概率为P(B)＝1236＝13.(3)由(2)得“所得点数之和不是3的倍数”的概率是1－P(B)＝23.一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．求：(1)基本事件总数；(2)事件“摸出2个黑球”包含多少个基本事件？(3)摸出2个黑球的概率是多少？[分析]在古典概型下，每一个基本事件出现的概率均为1n.因此，要求P(A)关键是求出事件A中所包含的基本事件的个数m，然后套用公式P(A)＝事件A包含的基本事件的个数m基本事件的总数n求得古典概型的概率．[解析]由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型．(1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，所有基本事件构成集合Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中共有6个基本事件．(2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个基本事件．(3)基本事件总数n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数m＝3，故P＝12.[点评]古典概型求法步骤：1°确定等可能基本事件总数；2°确定所求事件包含基本事件数m；3°P(A)＝mn.[例4]袋中有两个红球和两个白球，现从中任取两个小球，求所取的两个小球中至少有一个红球的概率．命题方向4较复杂的古典概型概率计算问题[分析][解析]给两个红球编号为1,2，两个白球编号为3,4，从中任取两个，共有6个基本事件：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}．设至少有一个红球为事件A.解法一：至少有一个红球的结果有5个：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，则至少有一个红球的概率为P(A)＝56.解法二：设事件B＝“有一个红球与一个白球”，事件＝“两个都是红球”，则A＝B∪C.由互斥事件的概率加法公式得P(A)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝46＋16＝56.解法三：设事件D＝“两个都是白球”，则事件A与事件D互为对立事件，所以P(A)＝1－P(D)＝1－16＝56.规律总结：在古典概型中，求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．凡涉及“至多”“至少”型的问题，可以用互斥事件以及分类讨论思想求解，当涉及的互斥事件多于2个时，一般用对立事件求解．在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是多少？[解析]从6个球中任意选取3个，设事件A：取3个白球；事件B：取到2个白球，1个红球；事件C：取到1个白球，2个红球．则A，B，C是两两互斥的，因此可用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式来求．设白球标号为1,2,3,4，红球标号为5,6，“从6个球中任选3个球”包括：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,2,6)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,3,6)，(1,4,5)，(1,4,6)，(1,5,6)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,3,6)，(2,4,5)，(2,4,6)，(2,5,6)，(3,4,5)，(3,4,6)，(3,5,6)，(4,5,6)，共20个基本事件．解法一(用对立事件)：“选取的3个都是白球”包括(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共4个基本事件．故所求概率为P＝1－420＝45.解法二(古典概型)：“至少有1个红球”的情形包括(1,2,5)，(1,2,6)，(1,3,5)，(1,3,6)，(1,4,5)，(1,4,6)，(1,5,6)，(2,3,5)，(2,3,6)，(2,4,5)，(2,4,6)，(2,5,6)，(3,4,5)，(3,4,6)，(3,5,6)，(4,5,6)，共16种，所以所选3个球中至少有1个红球的概率为1620＝45.名师辩误做答[例5]任意投掷两枚骰子，求“出现的点数之和为奇数”的概率．[错解]任意投掷两枚骰子，点数之和可能是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，共有11个基本事件，设出现的点数之和为奇数为事件A，则事件A包含3,5,7,9,11，共5个基本事件，故P(A)＝511，即出现的点数之和为奇数的概率为511.[错因分析]出现点数之和为奇数与偶数的11种情况不是等可能事件，如点数之和为2只出现一次，即(1,1)；点数之和为3则出现两次，即(2,1)，(1,2)．因此以点数之和为基本事件不属于古典概型，不能应用古典概型概率公式计算．[正解]任意投掷两枚骰子，可看成等可能事件，其结果即基本事件可表示为数组(i，j)(i，j＝1,2，…，6)．其中两个数i，j分别表示这两枚骰子出现的点数，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,