13-14II期中考试试题答案与评分标准

2013-2014II概率论与数理统计期中考试试题答案与评分标准1.（12分）在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%、35%、40%，并且在各自的产品里，不合格品各占5%、4%、2%。问：（1）全部螺丝钉的不合格品率为多少？（2）若现在从产品中任取一件恰是不合格品，则该不合格品是甲厂生产的概率为多大？答：设1A表示“螺丝钉由甲台机器生产”，2A表示“螺丝钉由乙台机器生产”，3A表示“螺丝钉由丙台机器生产”，B表示“螺丝钉不合格”。………（2分）（1）由全概率公式)()()()()()()(332211ABPAPABPAPABPAPBP……（3分）=0.25×0.05+0.35×0.04+0.40×0.02=0.0345；………（2分）（2）由贝叶斯公式11()()()()PAPBAPABPB………（3分）0.250.050.3623190.0345………（2分）2．（12分）随机变量X的概率密度为1,02,()0,.axxfx其它求（1）常数a；（2）X的分布函数)(xF；（3）)31(XP答：（1）因为122)1()(20adxaxdxxf，………（3分）所以2/1a.………（1分）（2）因为.2,1,20,4,0,0.2,120,)121(,0,0)()(20xxxxxxxdttxdttfxFxx…（5分）（3）因为X为连续型随机变量，41)411(1)1()3(}31{FFXP…（3分）3.（10分）设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,现对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.答：X的概率密度函数为……（3分）设A表示“对X的观测值大于3的次数”,即A={X3}.………（2分）设Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数,则………（2分）1,25,()30,.xfx其他(){3}PAPX由于5312d,33x2~3,.3Yb因而有23033222220{2}11.23333327PY………（3分）4．（20分）（1）设随机变量X具有概率密度其它,040,8)(xxxfX，求Y=2X+8的概率密度。（2）设随机变量)1,0(~UX，求XeY2的密度函数)(yfY。解：（1）28)()28()82()()(yXYdxxfyXPyXPyYPyF…（5分）.0168,32804280,21)28(81)28)(28()(其它，，其它，，，yyyyyyfyfXY…（5分）（2）因)1,0(~UX，故其他；,0,10,1)(xxfX……………（1分）1ln222020,1,1(){}{ln}(),1,21,.yXYXyFyPeyPXyfxdxyeye……（5分）21,1,2()'()0,.YYyeyfyFyothers……………（4分）5．(12分)二维随机变量),(YX的联合分布律为1.03.02.012.01.01.00101YX（1）求YX,的边缘分布律；（2）求)1(YXP；（3）YX,是否相互独立。解：（1）3.02.01.0)1(XP，4.01.03.0}0{XP，……（2分）3.01.02.0}1{XP，4.02.01.01.0}0{YP，6.01.03.02.0}1{YP………………………（3分）（2）5.0}0,1{}1,0{)1(YXPYXPYXP………………（4分）（3）因为}0{}0{1.0}0,0{YPXPYXP，YX,不相互独立………（3分）6.(22分)设(X,Y)的概率密度是(1),01,0(,)0,Ayxxyxfxy其它,求(1)A的值;(2)两个边缘密度;(3)X与Y是否相互独立?(4)条件概率密度|YXfyx.解：(1)211230001,1()242RxfxyAdxAyxdyxxdxAdxdy……（3分）所以A=24.……（1分）（2）2121,01,,0,Xxxxfxfxydy其它.……（5分）2241,01,,0,Yyyyfyfxydx其它.……（5分）（3）因为,XYfxyfxfy所以不独立.……（3分）(4)因为24(1),01,0(,)0,yxxyxfxy其它,2121,01()0,Xxxxfx其它所以对0x1，|22,0,0,,YXXyxyxfxyfyxfx其它.……（5分）7．（12分）设系统L由两个相互独立的子系统1L和2L连接而成，其寿命分别为X和Y，已知它们的概率密度分别为.0,0,0,)(xxexfxX和.0,0,0,2)(2yyeyfyY分别求:（1）子系统1L和2L串联时；（2）子系统1L和2L并联时系统L的寿命Z的概率密度。解：X和Y的分布函数分别为.0,0,0,1)(xxexFxX和.0,0,0,1)(2yyeyFyY……（4分）（1）串联时},min{YXZ，其分布函数为.0,0,0,1)(3minzzezFz,所以概率密度为.0,0,0,3)(3minzzezfz………………………………………………（4分）（2）并联时},max{YXZ，其分布函数为.0,0,0),1)(1()(2maxzzeezFzz,所以概率密度为.0,0,0,32)(32maxzzeeezfzzz………………（4分）