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§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，能够________的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题否命题逆否命题(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性________关系．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的__________，q是p的________；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的____________．[难点正本疑点清源]1．用集合的观点，看充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件；(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A⃘B，且B⃘A，则p是q的既不充分也不必要条件．2．从逆否命题，谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．这就是常说的“正难则反”．1．给出命题：“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是______________________________________________________．2．下列命题中所有真命题的序号是________．①“ab”是“a2b2”的充分条件；②“|a||b|”是“a2b2”的必要条件；③“ab”是“a＋cb＋c”的充要条件．3．“x2”是“1x12”的____________条件．4．设集合A＝{x∈R|x－20}，B＝{x∈R|x0}，C＝{x∈R|x(x－2)0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的________条件．5．已知α，β的终边在第一象限，则“αβ”是“sinαsinβ”的________________条件.题型一四种命题的关系及真假判断例1以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log2a0，则函数f(x)＝logax(a0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．探究提高(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为________．题型二充分、必要、充要条件的概念与判断例2指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sinA＝sinB；(2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.探究提高判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．给出下列命题：①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，则A＝30°是B＝60°的必要不充分条件．其中真．命题的序号是________．题型三充要条件的证明例3求证：关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1.探究提高(1)条件已知证明结论成立是充分性，结论已知推出条件成立是必要性．(2)证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性．证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明．(3)证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.1.等价转化思想在充要条件关系中的应用试题：(14分)已知p：1－x－13≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m0)，且綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．审题视角(1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简．(2)再利用命题间的关系列出关于m的不等式或不等式组，得出结论．规范解答解方法一由q：x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m，[2分]∴綈q：A＝{x|x1＋m或x1－m，m0}，由1－x－13≤2，解得－2≤x≤10，[6分]∴綈p：B＝{x|x10或x－2}．[8分]∵綈p是綈q的必要而不充分条件．∴AB，即m0，1－m＜－2，1＋m≥10，或m＞0，1－m≤－2，1＋m＞10，即m≥9或m＞9即m≥9.[14分]方法二∵綈p是綈q的必要而不充分条件，∴p是q的充分而不必要条件，[2分]由q：x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m，∴q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，[5分]由1－x－13≤2，解得－2≤x≤10，∴p：P＝{x|－2≤x≤10}．[8分]∵p是q的充分而不必要条件，∴PQ，即m0，1－m－2，1＋m≥10，或m＞0，1－m≤－2，1＋m＞10，即m≥9或m＞9即m≥9.[14分]批阅笔记本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键.方法与技巧1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或n个)作为大前提．2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的．3．命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．失误与防范1．否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定是只否定命题的结论．要注意区别．2．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．课时规范训练(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、填空题1．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是__________________．2．已知集合M＝{x|0x1}，集合N＝{x|－2x1}，那么“a∈N”是“a∈M”的______________条件．3．设集合A、B，有下列四个命题：①A⃘B⇔对任意x∈A都有x∉B；②A⃘B⇔A∩B＝∅；③A⃘B⇔B⃘A；④A⃘B⇔存在x∈A，使得x∉B.其中假命题的序号是________．4．已知函数y＝lg(4－x)的定义域为A，集合B＝{x|xa}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．5．下列命题：①若ac2bc2，则ab；②若sinα＝sinβ，则α＝β；③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中正确命题的序号是________．6．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c.②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3.③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为______．7．已知p(x)：x2＋2x－m0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．二、解答题8．已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．B组专项能力提升题组一、填空题1．设y＝f(x)是定义在R上的函数，给定下列三个条件：(1)y＝f(x)是偶函数；(2)y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；(3)T＝2为y＝f(x)的一个周期．如果将上面(1)、(2)、(3)中的任意两个作为条件，余下一个作为结论，那么构成的三个命题中真命题有________个．2．已知p：1x－2≥1，q：|x－a|1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为__________．3．设有两个命题p、q.其中p：对于任意的x∈R，不等式ax2＋2x＋10恒成立；命题q：f(x)＝(4a－3)x在R上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a的取值范围是____________．4．若“x∈[2,5]或x∈{x|x1或x4}”是假命题，则x的取值范围是________．5．在“a，b是实数”的大前提之下，已知原命题是“若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集，则a2－4b≥0”，给出下列命题：①若a2－4b≥0，则不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集；②若a2－4b0，则不等式x2＋ax＋b≤0的解集是空集；③若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是空集，则a2－4b0；④若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集，则a2－4b0；⑤若a2－4b0，则不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集；⑥若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是空集，则a2－4b≥0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是________(按要求的顺序填写)．6．(2011·陕西)设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数．．根的充要条件是n＝________.二、解答题7．设p：实数x满足x2－4ax＋3a20，其中a0；q：实数x满足x2－x－6≤0，或x2＋2x－80，且綈p是綈q的必要不充分条件，求a的取值范围．8．已知全集U＝R，非空集合A＝x|x－2x－(3a＋1)0，B＝x|x－a2－2x－a0.(1)当a＝12时，求(∁UB)∩A；(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．答案要点梳理1．判断真假2．(1)若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p(2)逆命题否命题逆否命题(3)①相同②没有3．(1)充分条件必要条件(2)充要条件基础自测1．32.②③3.充分不必要4．充要5.既不充分也不必要题型分类·深度剖析例1②④变式训练1①③例2解(1)在△ABC中，∠A＝∠B⇒sinA＝sinB，反之，若sinA＝sin