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绍兴市柯桥区高中数学学科导学案高一数学（必修5）第1页共5页《必修5》第一章解三角形1．2应用举例（一）【学习目标】1.熟练掌握正、余弦定理．2.能够运用正、余弦定理等知识和方法求解距离问题.【课前预习】1．距离问题(1)测量从一个可到达的点A到一个不可到达的点B之间的距离问题．如图所示．这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用__________就可解决．(2)测量两个不可到达的点A，B之间的距离问题．如图所示．首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用__________求三角形的边长问题，然后把未知的BC和AC的距离问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间距离的问题．2．基线在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．【课堂导学】问题探究一1.如图1，A、B不能直达，A、B、C都可到达,我们需要测得哪些量可求得到AB的距离?依据是什么?问题探究二2.如图2,B不能到达,可到达A、C,我们需要测得哪些量可求得到AB的距离?依据是什么?问题探究三3.如图3,A、B两点都在河的对岸(不能到达),设计一种测量A、B两点间距离的方法.小结：解决实际问题步骤:审题——画图——建模绍兴市柯桥区高中数学学科导学案高一数学（必修5）第2页共5页典型例题类型一测量从一个可到达的点，到一个不可到达的点之间的距离[例1]为了测量水田两侧A，B两点间的距离(如图所示)，某观测者在A的同侧选定一点C，测得AC＝8m，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，求A，B两点间的距离．变式训练1在题设条件不变的情况下，求水田的宽度．类型二测量两个不可到达的点之间的距离[例2]在一次反恐作战战前准备中，为了弄清基地组织两个训练营地A和B之间的距离，盟军在两个相距为32a的观测点C和D处，测得∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示．求基地组织的这两个训练营地之间的距离．变式训练2如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距3km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．绍兴市柯桥区高中数学学科导学案高一数学（必修5）第3页共5页类型三应用创新问题[例3]为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量．A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．【课后巩固】一、选择题1．海面上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成30°的视角，则B与C之间的距离是()A．103海里B.1063海里C．52海里D．53海里2．甲、乙二人同时从A点出发，甲沿着正东方向走，乙沿着北偏东30°方向走，当乙走了2千米到达B点时，两人距离恰好为3千米，那么这时甲走的距离是()A．23千米B．2千米C.3千米D．1千米3.如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB.3akmC.2akmD．2akm4．已知A，B两地相距10km，B，C两地相距20km，且∠ABC＝120°，则A，C两地相距()A．10kmB．103kmC．105kmD．107km绍兴市柯桥区高中数学学科导学案高一数学（必修5）第4页共5页5.如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点．已知△ACD为正三角形，且DC＝3km，当目标出现在B点时，测得∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，则炮兵阵地与目标的距离是()A．1.1kmB．2.2kmC．2.9kmD．3.5km二、填空题6．海上有A，B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛与B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛与C岛之间的距离为________nmile.7．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________km.三、解答题8．一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角为45°距离10海里的C处，并沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度航行．“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救．求“黄山”舰靠近商船所需要的最短时间及所经过的路程．绍兴市柯桥区高中数学学科导学案高一数学（必修5）第5页共5页参考答案：1—5：DDBDC6．567.3028.如图所示，若“黄山”舰以最短时间在B处追上商船，则A，B，C构成一个三角形．设所需时间为t小时，则AB＝21t，BC＝9t.又已知AC＝10，依题意知，∠ACB＝120°，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠ACB.∴(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9tcos120°，∴(21t)2＝100＋81t2＋90t，即360t2－90t－100＝0.∴t＝23或t＝－512(舍去)．∴AB＝21×23＝14(海里)．即“黄山”舰需要用23小时靠近商船，共航行14海里．